Calcular as coordenadas retangulares de um ponto P , levantado topograficamente por interseção, a partir da base \overline{\mathrm{MN}}, da qual foram lidos os seguintes ângulos: \mathrm{N} \widehat{\mathrm{MP}}=55^{\circ} 40^{\prime} e \widehat{\mathrm{MNP}}=310^{\circ} 20^{\prime}. Sabe-se que:
Estação \mathrm{M}: \mathrm{N}=3630,14 \mathrm{~m} ; \quad \mathrm{E}=1117,85 \mathrm{~m}
Estação \mathrm{N}: \mathrm{N}=4968,18 \mathrm{~m} ; \mathrm{E}=2505,33 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas das estações M e N e dois ângulos horizontais medidos na interseção topográfica para determinar as coordenadas de P. O conteúdo é geometria analítica de levantamento:
  • Estação M: \mathrm{N}_M=3630{,}14, \mathrm{E}_M=1117{,}85
  • Estação N: \mathrm{N}_N=4968{,}18, \mathrm{E}_N=2505{,}33
  • Ângulos medidos no plano horizontal:
    \angle N\widehat{M}P=55^\circ40' e ângulo de referência em N: \angle M\widehat{N}P=310^\circ20'.
    Vamos (1) calcular azimutes das direções MN, MP e NP, (2) escrever as equações paramétricas das duas retas e (3) resolver o sistema para obter as coordenadas de P.

Passo 2

Calcular o azimute de MN a partir de M. Definindo
\Delta N = \mathrm{N}_N - \mathrm{N}_M = 4968{,}18 - 3630{,}14 = 1338{,}04,
\Delta E = \mathrm{E}_N - \mathrm{E}_M = 2505{,}33 - 1117{,}85 = 1387{,}48,
o azimute de MN (medido de Norte verdadeiro no sentido horário) é
A_{MN} = \arctan\bigl(\tfrac{\Delta E}{\Delta N}\bigr) = \arctan\bigl(\tfrac{1387{,}48}{1338{,}04}\bigr)\approx 46^\circ12'.

Passo 3

Determinar os azimutes das direções MP e NP a partir de M e de N:
  1. A direção MP parte de M, girando 55^\circ40' a partir de MN:
A_{MP} = A_{MN} + 55^\circ40' = 46^\circ12' + 55^\circ40' = 101^\circ52'.
  1. A direção NP parte de N, girando 310^\circ20' a partir da direção NM. Mas a direção NM é o contrária a MN:
A_{NM} = A_{MN} + 180^\circ = 46^\circ12' + 180^\circ = 226^\circ12'.
Logo
A_{NP} = A_{NM} + 310^\circ20' = 226^\circ12' + 310^\circ20' = 536^\circ32' - 360^\circ = 176^\circ32'.

Passo 4

Escrever as equações vetoriais dos pontos de P sobre as retas de M e de N:
\text{Reta em M:}\quad \begin{cases} \mathrm{E}_P = \mathrm{E}_M + d_1\sin A_{MP},\\\ \mathrm{N}_P = \mathrm{N}_M + d_1\cos A_{MP}, \end{cases} \quad \text{Reta em N:}\quad \begin{cases} \mathrm{E}_P = \mathrm{E}_N + d_2\sin A_{NP},\\\ \mathrm{N}_P = \mathrm{N}_N + d_2\cos A_{NP}, \end{cases}
onde d_1=MP e d_2=NP são incógnitas. Igualando \mathrm{E}_P e \mathrm{N}_P obtemos o sistema linear em d_1,d_2. Calculando seno e cosseno numéricos:
\sin101^\circ52'\approx0,9786,\quad \cos101^\circ52'\approx -0,2056,
\sin176^\circ32'\approx0,0605,\quad \cos176^\circ32'\approx -0,9982.
Dessa forma o sistema fica
\begin{cases} 0,9786\,d_1 - 0,0605\,d_2 = 1387{,}48,\\\\ -0,2056\,d_1 + 0,9982\,d_2 = 1338{,}04. \end{cases}
Resolvendo por determinantes, achamos
d_1 \approx 1521{,}0\text{ m}, \qquad d_2 \approx 1653{,}6\text{ m}.

Passo 5

Com d_1 e o azimute A_{MP}, calculamos as coordenadas de P desde M:
\Delta E = d_1\sin101^\circ52'\approx 1521{,}0\cdot0,9786 =1488{,}8, \quad \Delta N = d_1\cos101^\circ52'\approx 1521{,}0\cdot(-0,2056) = -312{,}7.
Logo
\mathrm{E}_P = 1117{,}85 + 1488{,}8 = 2606{,}65, \quad \mathrm{N}_P = 3630{,}14 - 312{,}7 = 3317{,}44.
(Verificação com d_2,A_{NP} dá resultados muito próximos.)

Resposta

\mathrm{N}_P \approx 3317{,}44\text{ m},\qquad \mathrm{E}_P \approx 2606{,}65\text{ m}.

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