Exercício 7: Dada a curva
\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t), \quad t \in \mathbb{R},
a) Determine o vetor tangente unitário \mathrm{T}(\mathrm{t}).
b) Determine o vetor normal unitário N(t).
c) Verifique se T(t) e N(t) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec{r}(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in \mathbb{R}
e pede o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a verificação de que T(t) e N(t) são ortogonais. O conteúdo é derivação de curvas paramétricas, normalização de vetores e produto escalar.

Passo 2

Para achar T(t), calculamos a derivada de \vec{r}(t) e sua norma:
\vec{r}'(t) = (-\sin t, \cos t),
\lVert \vec{r}'(t)\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = 1.
Como a norma é 1, o vetor tangente unitário é
T(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{\lVert \vec{r}'(t)\rVert} = (-\sin t, \cos t).

Passo 3

Para obter N(t), derivamos T(t) e normalizamos:
T'(t) = (-\cos t, -\sin t),
\lVert T'(t)\rVert = \sqrt{(-\cos t)^2 + (-\sin t)^2} = 1,
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N(t) = \frac{T'(t)}{\lVert T'(t)\rVert} = (-\cos t, -\sin t).

Passo 4

Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar:
T(t)\cdot N(t) = (-\sin t)(-\cos t) + (\cos t)(-\sin t) = \sin t\cos t - \cos t\sin t = 0,
mostrando que T(t) e N(t) são ortogonais.

Resposta

(a) T(t)=(-\sin t,\cos t).
(b) N(t)=(-\cos t,-\sin t).
(c) T(t)\cdot N(t)=0, logo são ortogonais.

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