Exercício 1 Considere uma curva C subset R^3 e uma função densidade rho: C R. Definimos o valor médio (VM) de rho sobre C por:
VM(rho ; C):=1ell(C) integralC rho(x, y, z) d s onde ell(C) é o comprimento da curva C é
Agora considere que a curva C é dada por gamma(t)=(2 cos t,-2 sin t, t / 2) onde t in[0,4 pi].
(i) Mostre que C está sobre um cilindro, esboce-a e exiba a orientação induzida sobre C pela parametrização;
(ii) Calcule gamma^prime(t) e o elemento de comprimento d s associados a parametrização gamma(t);
(iii) Calcule ell(C);
(iv) Calcule VM(rho ; C) quando rho(x, y, z)=z;
(v) Mostre que o valor médio encontrado em (iv) é assumido pela densidade rho(x, y, z) em algum ponto da curva e determine tal ponto.

Passo 1

O enunciado trata de uma curva CsubsetR^3 parametrizada por
gamma(t)=(2cos t,,-2sin t,;t/2), tin[0,4pi]. Precisamos mostrar que C está num cilindro, esboçá-la e indicar sua orientação; depois calcular gamma'(t), o elemento de comprimento ds, o comprimento total ell(C), o valor médio de rho(x,y,z)=z sobre C e, finalmente, provar que esse valor médio é assumido por rho em algum ponto da curva e encontrá-lo.

Passo 2

Para mostrar que C está num cilindro, basta notar que para todo t
x(t)^2+y(t)^2=(2cos t)^2+(-2sin t)^2 =4cos^2t+4sin^2t =4
Logo C satisfaz a equação x^2+y^2=4, que é um cilindro de raio 2 ao longo do eixo z. Na projeção no plano xy a curva é um círculo de raio 2 percorrido no sentido horário (pois quando t cresce, (x,y) vai de (2,0) para (0,-2), etc.), enquanto a componente z=t/2 cresce com t.

Passo 3

Derivando gamma, obtemos
gamma'(t) =l(-2sin t,,-2cos t,;1/2r)
O elemento de comprimento é
ds=l|gamma'(t)r|,dt =raiz(-2sin t)^2+(-2cos t)^2+(1/2)^2;dt =raiz4+1/4;dt =raiz172,dt

Passo 4

O comprimento da curva é
ell(C) =integral0^4pids =integral0^4piraiz172,dt =raiz172,(4pi) =2piraiz17

Passo 5

Para rho(x,y,z)=z, temos z(t)=t/2. O valor médio é
VM(rho;C) =1ell(C)integralCz,ds =12piraiz17 integral0^4pit2,raiz172,dt =raiz174cdot2piraiz17 integral0^4pit,dt =18pi l[tfract^22r]0^4pi =18picdot(4pi)^22 =pi

Passo 6

Como z(t)=t/2 é contínua e vai de 0 a 2pi quando t vai de 0 a 4pi, pelo Teorema do Valor Intermediário existe t0in(0,4pi) tal que
z(t0)=pi
Da equação t0/2=pi segue t0=2pi. O ponto correspondente é
gamma(2pi)=l(2cos(2pi),,-2sin(2pi),,pir) =(2,0,pi),
onde rho(2,0,pi)=pi assume exatamente o valor médio.

Resposta

(i) C satisfaz x^2+y^2=4, é o cilindro de raio 2, percorrido no sentido horário visto de cima, com z aumentando.
(ii) gamma'(t)=(-2sin t,,-2cos t,;1/2), ds=tfracraiz172,dt.
(iii) ell(C)=2piraiz17.
(iv) VM(rho;C)=pi.
(v) O valor médio pi ocorre em t=2pi, no ponto (2,0,pi).

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