Exercício 1 Considere uma curva e uma função densidade . Definimos o valor médio (VM) de sobre por:
Agora considere que a curva é dada por onde .
(i) Mostre que está sobre um cilindro, esboce-a e exiba a orientação induzida sobre pela parametrização;
(ii) Calcule e o elemento de comprimento associados a parametrização ;
(iii) Calcule ;
(iv) Calcule quando ;
(v) Mostre que o valor médio encontrado em (iv) é assumido pela densidade em algum ponto da curva e determine tal ponto.
Passo 1
O enunciado trata de uma curva parametrizada por , . Precisamos mostrar que está num cilindro, esboçá-la e indicar sua orientação; depois calcular , o elemento de comprimento , o comprimento total , o valor médio de sobre e, finalmente, provar que esse valor médio é assumido por em algum ponto da curva e encontrá-lo.
Passo 2
Para mostrar que está num cilindro, basta notar que para todo
Logo satisfaz a equação , que é um cilindro de raio 2 ao longo do eixo . Na projeção no plano a curva é um círculo de raio 2 percorrido no sentido horário (pois quando cresce, vai de para , etc.), enquanto a componente cresce com .
onde rho(2,0,pi)=pi assume exatamente o valor médio.
Resposta
(i) C satisfaz x^2+y^2=4, é o cilindro de raio 2, percorrido no sentido horário visto de cima, com z aumentando.
(ii) gamma'(t)=(-2sin t,,-2cos t,;1/2), ds=tfracraiz172,dt.
(iii) ell(C)=2piraiz17.
(iv) VM(rho;C)=pi.
(v) O valor médio pi ocorre em t=2pi, no ponto (2,0,pi).