Exercício 3 Se
e
são de classe
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de produto envolvendo o divergente de um produto entre uma função escalar
e um campo vetorial
, assumindo que
e
são de classe
. Vamos precisar da definição de divergente e do regra de derivada de produto para funções de várias variáveis.
Passo 2
Escrevemos
e lembramos que
Também temos a definição do divergente de
e do gradiente de
:
Passo 3
Aplicamos a regra de derivada de produto em cada termo:
e análogamente para os termos em
e em
. Somando tudo,
Reconhecendo os parenteses, obtemos