Exercício 3 Se f e F são de classe C^2, prove que:
nabla cdot(f F)=f nabla cdot F+nabla f cdot F.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de produto envolvendo o divergente de um produto entre uma função escalar f e um campo vetorial vec F, assumindo que f e vec F são de classe C^2. Vamos precisar da definição de divergente e do regra de derivada de produto para funções de várias variáveis.

Passo 2

Escrevemos vec F=(F1,F2,F3) e lembramos que
nablacdot(fvec F) =partialpartial x(fF1) +partialpartial y(fF2) +partialpartial z(fF3)
Também temos a definição do divergente de vec F e do gradiente de f:
nablacdotvec F =partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z, nabla f =l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)

Passo 3

Aplicamos a regra de derivada de produto em cada termo:
partialpartial x(fF1) =f,partial F1partial x +F1,partial fpartial x,
e análogamente para os termos em y e em z. Somando tudo,
nablacdot(fvec F) =fl(partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial zr) +l(F1partial fpartial x+F2partial fpartial y+F3partial fpartial zr)
Reconhecendo os parenteses, obtemos
nablacdot(fvec F) =f,nablacdotvec F +nabla fcdotvec F

Resposta

nablacdot(fvec F) =f,nablacdotvec F +nabla fcdotvec F

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