Verifique, usando a definição, que (tarefa!)
lim x +infty 1x^r=0^+, r in Q, r>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite no infinito, que
limxto+infty1x^r=0^+,
onde rinQ e r>0. O conteúdo é a definição de limite quando xto+infty e a manipulação de desigualdades.

Passo 2

A definição diz: \emph{dizemos que limxto+infty f(x) = L se, para todo varepsilon > 0, existe M > 0 tal que, sempre que x > M, temos |f(x) - L| < varepsilon.} Aqui queremos L = 0 e f(x) = 1x^r.

Passo 3

Calculamos a diferença em valor absoluto:
l|f(x)-0r|=l|1x^rr|=1x^r,
pois para x>0 e r>0 o quociente é positivo. Queremos
1x^r<varepsilon

Passo 4

Resolvendo a desigualdade tfrac1x^r<varepsilon obtemos
x^r>1varepsilon Long<=ftrightarrow x>l(1varepsilonr)^1/r
Logo, se escolhermos
M=l(tfrac1varepsilonr)^1/r,
então sempre que x>M teremos tfrac1x^r<varepsilon, garantindo |f(x)-0|<varepsilon.

Resposta

Pelo critério de definição, limxto+inftytfrac1x^r=0^+.

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