Responda os itens a seguir
(1) Defina uma base do
(\mathbb{R}^{n}).
(2) Os vetores
((1,1,0),(2,0,1)) e
((2,-1,1)) formam uma base do
(\mathbb{R}^{3}) ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede (1) a definição de base de e (2) verificar se os vetores , e formam uma base de . Para isso usaremos a definição de base — conjunto linearmente independente que gera todo o espaço — e o teste de independência linear via determinante de matriz.
Passo 2
Uma base de é um subconjunto tal que:
gera, ou seja, todo vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .
é linearmente independente, ou seja, nenhuma combinação linear não trivial dos vetores de resulta no vetor zero.
Em particular, qualquer base de tem exatamente vetores.
Passo 3
Para os vetores , e em , como há três vetores em , basta mostrar que são linearmente independentes para concluir que formam base.
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, também geram todo R^3.
Resposta
(1) Uma base de R^n é um conjunto de n vetores linearmente independentes que geram R^n.
(2) Sim. Como o determinante da matriz formada por (1,1,0), (2,0,1) e (2,-1,1) é 1neq0, esses vetores são linearmente independentes e, sendo três em R^3, formam uma base.