Responda os itens a seguir
(1) Defina uma base do
(\mathbb{R}^{n}).
(2) Os vetores
((1,1,0),(2,0,1)) e
((2,-1,1)) formam uma base do
(\mathbb{R}^{3}) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede (1) a definição de base de R^n e (2) verificar se os vetores (1,1,0), (2,0,1) e (2,-1,1) formam uma base de R^3. Para isso usaremos a definição de base — conjunto linearmente independente que gera todo o espaço — e o teste de independência linear via determinante de matriz.

Passo 2

Uma base de R^n é um subconjunto BsubseteqR^n tal que:
  1. B gera R^n, ou seja, todo vetor vinR^n pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B.
  2. B é linearmente independente, ou seja, nenhuma combinação linear não trivial dos vetores de B resulta no vetor zero.
    Em particular, qualquer base de R^n tem exatamente n vetores.

Passo 3

Para os vetores v1=(1,1,0), v2=(2,0,1) e v3=(2,-1,1) em R^3, como há três vetores em R^3, basta mostrar que são linearmente independentes para concluir que formam base.

Passo 4

Montamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 2 & 2 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1
Calculamos o determinante:
det(A) =1cdot0 & -11 & 1 -2cdot1 & -10 & 1 +2cdot1 & 00 & 1 =1cdot(0cdot1-(-1)cdot1) -2cdot(1cdot1-(-1)cdot0) +2cdot(1cdot1-0cdot0) =1-2+2 =1neq0
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, também geram todo R^3.

Resposta

(1) Uma base de R^n é um conjunto de n vetores linearmente independentes que geram R^n.
(2) Sim. Como o determinante da matriz formada por (1,1,0), (2,0,1) e (2,-1,1) é 1neq0, esses vetores são linearmente independentes e, sendo três em R^3, formam uma base.

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