Exercício 3.5.3. Considere dois experimentos aleatórios:
I) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e sem reposição, de um baralho de 52 cartas.
II) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e com reposição, de um baralho de 52 cartas.
Em qual caso é mais provável obter exatamente duas cartas de espada? Justifique com cálculos.
I) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e sem reposição, de um baralho de 52 cartas.
II) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e com reposição, de um baralho de 52 cartas.
Em qual caso é mais provável obter exatamente duas cartas de espada? Justifique com cálculos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de obter exatamente duas espadas ao extrair quatro cartas de um baralho de 52. No experimento I há extração sem reposição (usa-se distribuição hipergeométrica) e no experimento II há extração com reposição (usa-se distribuição binomial). Vamos calcular cada probabilidade e comparar.
Passo 2
No experimento I (sem reposição), a probabilidade de
espadas em
cartas é dada pela distribuição hipergeométrica:
Aqui
escolhe as 2 espadas dentre as 13,
escolhe as 2 não‐espadas dentre as 39, e
é o total de escolhas de 4 cartas.
Passo 3
Vamos avaliar numericamente:
Passo 4
No experimento II (com reposição), cada carta é espada com probabilidade
, e temos
ensaios independentes. Assim
Passo 5
Comparando
vemos que
é ligeiramente maior.
Resposta
É mais provável obter exatamente duas espadas no experimento I (sem reposição).