Exercício 3.5.3. Considere dois experimentos aleatórios:
I) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e sem reposição, de um baralho de 52 cartas.
II) Extrair quatro cartas uma a uma ao acaso e com reposição, de um baralho de 52 cartas.
Em qual caso é mais provável obter exatamente duas cartas de espada? Justifique com cálculos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de obter exatamente duas espadas ao extrair quatro cartas de um baralho de 52. No experimento I há extração sem reposição (usa-se distribuição hipergeométrica) e no experimento II há extração com reposição (usa-se distribuição binomial). Vamos calcular cada probabilidade e comparar.

Passo 2

No experimento I (sem reposição), a probabilidade de 2 espadas em 4 cartas é dada pela distribuição hipergeométrica:
PI(X=2) ;=;binom132,binom392binom524
Aqui binom132 escolhe as 2 espadas dentre as 13, binom392 escolhe as 2 não‐espadas dentre as 39, e binom524 é o total de escolhas de 4 cartas.

Passo 3

Vamos avaliar numericamente:
binom132=78, binom392=741, binom524=270,725
PI(X=2)=78times741270,725=57,798270,725approx0,2136

Passo 4

No experimento II (com reposição), cada carta é espada com probabilidade p=13/52=1/4, e temos n=4 ensaios independentes. Assim
PII(X=2)=binom42l(tfrac14r)^2l(tfrac34r)^2 =6cdottfrac116cdottfrac916 =54256approx0,2109

Passo 5

Comparando
PI(X=2)approx0,2136 e PII(X=2)approx0,2109,
vemos que PI(X=2) é ligeiramente maior.

Resposta

É mais provável obter exatamente duas espadas no experimento I (sem reposição).

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