Exercício 3.5.4. Considere o experimento lançar um dado honesto até a obtenção da primeira face cinco. Calcule a probabilidade da primeira face cinco ser obtida no quinto lançamento ou após este.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de lançamentos independentes de um dado honesto até aparecer pela primeira vez a face cinco. Isso é modelo de distribuição geométrica com parâmetro de sucesso p=1/6. Queremos a probabilidade de que a primeira face cinco ocorra no quinto lançamento ou depois, isto é, P(N>=5).

Passo 2

Na distribuição geométrica em que N é o número de lançamentos até o primeiro sucesso, vale
P(N=n) = (1-p)^n-1p
e a probabilidade de atraso, ou cauda, é
P(N>= k) = sumn=k^infty(1-p)^n-1p = (1-p)^k-1

Passo 3

Aplicando com p=1/6 e k=5, temos
P(N>=5) = l(1-tfrac16r)^5-1 = l(tfrac56r)^4

Passo 4

Basta calcular
l(tfrac56r)^4 = tfrac5^46^4 = tfrac6251296approx0,4823

Resposta

P(primeiro 5 no quinto lançamento ou depois) = l(tfrac56r)^4 = tfrac6251296approx0,4823 ç

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