Exercício 3. Considere a equação diferencial y^prime prime-omega^2 y=0, para omega>0.
a) Mostre que y(t)=c1 e^-omega(t-a)+c2 e^omega(t-a), para a in R fixo, é solução geral da equação diferencial.
b) Mostre que y(t)=c1 cosh (omega(t-a))+c2 sinh (omega(t-a)), para a in R fixo, é solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' - omega^2y = 0,
com omega>0, e mostrar duas formas equivalentes da solução geral:
a) em termos de expoentes deslocados exp[pm omega(t-a)],
b) em termos das funções hiperbólicas cosh e sinh.
Conteúdo: equações lineares de coeficientes constantes, solução via equação característica e mudança de base de soluções.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a
y'' - omega^2y = 0:
r^2 - omega^2 = 0 Longrightarrow r = pm omega
Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(t) = K1e^omega t + K2e^-omega t,
onde K1,K2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para obter a forma com deslocamento a, note que
e^omega t = e^omega(t-a),e^omega a, e^-omega t = e^-omega(t-a),e^-omega a
Defina novas constantes
c2 = K1e^omega a, c1 = K2e^-omega a
Substituindo em y(t)=K1e^omega t+K2e^-omega t vem
y(t) = c2,e^omega(t-a) + c1,e^-omega(t-a),
o que mostra que
boxedy(t)=c1e^-omega(t-a)+c2e^omega(t-a)
é a solução geral desejada na forma (a).

Passo 4

Definimos as funções hiperbólicas para x=omega(t-a):
cosh(x) = e^x+e^-x2, sinh(x) = e^x-e^-x2
Calculemos a segunda derivada de y1(t)=cosh!l(omega(t-a)r):
y1' = omega,sinh(omega(t-a)), y1'' = omega^2cosh(omega(t-a)),
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y1'' - omega^2y1 = omega^2cosh(omega(t-a)) - omega^2cosh(omega(t-a)) = 0
Analogamente para y2(t)=sinh(omega(t-a)). Como cosh e sinh são linearmente independentes (o Wronskiano neq0), elas formam um fundamental set de soluções.

Passo 5

Pela teoria de ODEs lineares, a solução geral é combinação linear de y1 e y2:
boxedy(t)=C1cosh!l(omega(t-a)r) +C2sinh!l(omega(t-a)r),
com C1,C2 constantes arbitrárias. Isso conclui a forma (b).

Resposta

a) y(t)=c1e^-omega(t-a)+c2e^omega(t-a).
b) y(t)=C1cosh!l(omega(t-a)r)+C2sinh!l(omega(t-a)r).

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