Exercício 3. Considere a equação diferencial
, para
.
a) Mostre que
, para
fixo, é solução geral da equação diferencial.
b) Mostre que
, para
fixo, é solução geral da equação diferencial.
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
com
, e mostrar duas formas equivalentes da solução geral:
a) em termos de expoentes deslocados ,
b) em termos das funções hiperbólicas e
.
a) em termos de expoentes deslocados
b) em termos das funções hiperbólicas
Conteúdo: equações lineares de coeficientes constantes, solução via equação característica e mudança de base de soluções.
Passo 2
Formamos a equação característica associada a
Como as raízes são distintas, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para obter a forma com deslocamento
, note que
Defina novas constantes
Substituindo em
vem
o que mostra que
é a solução geral desejada na forma (a).
Passo 4
Definimos as funções hiperbólicas para
:
Calculemos a segunda derivada de
:
logo
Analogamente para
. Como
e
são linearmente independentes (o Wronskiano
), elas formam um fundamental set de soluções.
Passo 5
Pela teoria de ODEs lineares, a solução geral é combinação linear de
e
:
com
constantes arbitrárias. Isso conclui a forma (b).
Resposta
a)
.
b) .
b)