Determine o volume dos sólidos S :
S é limitado pelo plano z=3 e pelo parabolóide z=36-3 x^2-3 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado acima pelo plano z=3 e abaixo pelo parabolóide z=36-3x^2-3y^2. Vamos usar integração dupla em coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular em torno do eixo z.

Passo 2

Para achar a projeção de S no plano xy, igualamos as superfícies na interseção:
36 - 3r^2 = 3
e obtemos
3r^2 = 33 Longrightarrow r^2 = 11 Longrightarrow 0 <= r <= raiz11

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaproj l(ztopo - zfundor),dA = integral duplar<=raiz11 l[(36-3r^2)-3r],r,dr,dtheta
Simplificando o integrando, fica (33 - 3r^2),r.

Passo 4

Calculamos a integral em r e depois em theta:
V = integraltheta=0^2pi !!integralr=0^raiz11 (33r - 3r^3),dr,dtheta
Primeiro a integral interna:
integral0^raiz11 (33r - 3r^3),dr = [332r^2 - 34r^4]0^raiz11 = 332cdot 11 ;-;34cdot 11^2 = 3632 - 3634 = 3634

Passo 5

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pi 3634,dtheta = 3634cdot 2pi = 363pi2

Resposta

O volume é 363pi2.

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