Exercício 2. Considere a equação x^2+y^2=4 x.
(a) Identifique a curva correspondente. ( 1,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente identificar que tipo de curva é representada pela equação $ x^{2} + y^{2} = 4x $. A gente vai usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente as equações de curvas como círculos, elipses, etc. Vamos precisar manipular a equação para ver se dá pra identificar facilmente que tipo de curva é essa.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar a equação de um jeito mais familiar. A equação dada é $ x^{2} + y^{2} = 4x $. A ideia aqui é completar o quadrado para conseguir a forma padrão de um círculo. Então, vamos reorganizar os termos:
x^2 + y^2 = 4x

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de $ x $. Lembra que completar o quadrado é uma técnica pra transformar uma expressão quadrática numa forma que a gente consegue identificar o centro e o raio do círculo. Para $ x^{2} - 4x $, a gente faz assim:
  1. Pegamos o coeficiente de $ x $, que é -4.
  2. Dividimos por 2: $ -4 / 2 = -2 $.
  3. Elevamos ao quadrado: $ (-2)^{2} = 4 $.
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
x
Isso fica:
x^2 - 4x

Passo 4

Agora ficou na forma padrão da equação de um círculo, que é $ (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} $, onde (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 é o centro e $ r $ é o raio.
Comparando com a nossa equação $ (x - 2)^{2} + y^{2} = 4 $:
  • Centro: $ (2, 0) $
  • Raio: $ \sqrt{4} = 2 $

Resposta

A curva correspondente à equação $ x^{2} + y^{2} = 4x $ é um círculo com centro em x^2 + y^2 = 4x e raio igual a 2.

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