Quais séries nos exercicios 1-26 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. (Quando estiver verificando as suas respostas, lembre-se de que existe mais de uma maneira de determinar a convergência ou a divergência de uma série.)
16. sumn=1^infty n ln n2^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série sumn=1^infty nln n2^n. O conteúdo é análise de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão (podendo também confirmar com o teste da raiz) para decidir.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série sum an com an>0, se L=limntoinftyan+1an<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)ln(n+1)/2^n+1nln n/2^n = n+1ncdotln(n+1)ln ncdot12
Como n+1nto1 e ln(n+1)ln nto1 quando ntoinfty, segue que
.

Passo 4

Pelo teste da razão, como L<1, a série converge absolutamente. Opcionalmente, pelo teste da raiz,
limntoinftyraiz[n]an=limntoinfty(nln n)^1/n2=12<1,
confirma-se a convergência.

Resposta

A série converge (converge absolutamente pelo teste da razão).

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