Quais séries
definidas pelas fórmulas nos exercícios
convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
36.
36.
Passo 1
Temos a série
em que os termos são dados por
e
. O conteúdo principal é manipular recorrências para achar o termo geral e depois usar um critério de comparação para testar convergência.
Passo 2
Para achar o termo geral, aplicamos logaritmo em cada lado de
. Definindo
, temos
Como
Passo 3
Voltando de
para
, obtemos
Passo 4
Para testar convergência, note que para
vale
, logo
$$a_n=2{-n!}\le2{-n}.
$$
Como é uma série geométrica convergente, pelo critério da comparação a série original também converge.
Como
Resposta
A série
converge.