Quais séries sumn=1^infty an definidas pelas fórmulas nos exercícios 27-38 convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
36. a1=12, an+1=(an)^n+1

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty an em que os termos são dados por a1=tfrac12 e an+1=(an)^n+1. O conteúdo principal é manipular recorrências para achar o termo geral e depois usar um critério de comparação para testar convergência.

Passo 2

Para achar o termo geral, aplicamos logaritmo em cada lado de an+1=(an)^n+1. Definindo bn=ln an, temos
bn+1=(n+1)bn
Como b1=lntfrac12=-ln2, podemos verificar por indução que
bn=-n!,ln2

Passo 3

Voltando de bn para an, obtemos
an=e^bn=e^-n!,ln2=2^-n!

Passo 4

Para testar convergência, note que para n>=2 vale n!>= n, logo
$$a_n=2{-n!}\le2{-n}.
$$
Como an=2^-n!<=2^-n é uma série geométrica convergente, pelo critério da comparação a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge.

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