Exercício 2) Considere o escoamento através de um tubo com diâmetro de 60 mm , cujo tubo está submetido à uma condição de fluxo de calor constante igual 2000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Se água entra no tubo a 293 K e com uma velocidade igual a 0.003 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, pede-se:
Qual o comprimento necessário do tubo para se ter uma temperatura da água na saída de 353K?
OBS: Considere condição de escoamento completamente desenvolvido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Diâmetro do tubo: D=0,06\\ \mathrm{m}.
  • Fluxo de calor na parede (fluxo por unidade de área, constante): q''=2000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Temperatura de entrada da água: T_{\text{in}}=293\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de saída desejada: T_{\text{out}}=353\\ \mathrm{K}.
  • Velocidade média do escoamento no tubo: v=0{,}003\\ \mathrm{m/s}.
  • Condição: escoamento completamente desenvolvido (assume-se regime permanente e que todo o calor aplicado na parede entra no fluido).
O que se pede:
  • Comprimento necessário L do tubo para que a água aqueça de 293\\ \mathrm{K} até 353\\ \mathrm{K} sob as condições dadas.

Passo 2

Princípio físico e equações que vamos usar (explicação didática):
  • Em regime permanente, a potência térmica total fornecida pela parede ao fluido deve igualar a potência necessária para elevar a entalpia do fluido que sai relativamente ao que entra. Em forma simples (assumindo variação de pressão desprezível sobre a entalpia sensível), isso é
\dot{Q}=\dot{m}\,c_{p}\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}),
onde
  • \dot{Q} é a potência térmica total recebida pelo fluido (W),
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s),
  • c_p é o calor específico a pressão constante do fluido (J/(kg·K)),
  • T_{\text{out}} e T_{\text{in}} são temperaturas de saída e entrada (K).
  • A potência térmica total fornecida pela parede, sabendo-se o fluxo de calor por unidade de área q'' e a área de troca A_s, é
\dot{Q}=q''\,A_s.
Para um tubo de comprimento L e diâmetro D, a área lateral é
A_s=\pi D L.
  • Igualando as duas expressões para \dot{Q} obtemos a fórmula para L:
q''\,\pi D L=\dot{m}\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}})\quad\Rightarrow\quad L=\frac{\dot{m}\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}})}{q''\,\pi D}.
Comentário didático: note que não foi necessário calcular coeficiente convectivo nem número de Nusselt porque o enunciado já dá diretamente o fluxo de calor por unidade de área q''. Assim o comprimento necessário vem diretamente do balanço de energia.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m}. Primeiro a área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}06\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}06)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0009\approx 0{,}002827433\\ \mathrm{m^{2}}.
A vazão volumétrica é \dot{V}=A\,v. Portanto
\dot{V}=0{,}002827433\cdot 0{,}003 \approx 8{,}4823\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
A vazão mássica é \dot{m}=\rho\,\dot{V}. Então precisamos de um valor para a densidade \rho da água (ver passo seguinte).

Passo 4

Escolha e justificativa das propriedades da água (explicação didática):
  • Em problemas de transferência de calor com variação de temperatura significativa, costuma-se usar propriedades avaliadas à temperatura média do fluido. Aqui a temperatura média é
T_{\text{m}}=\frac{T_{\text{in}}+T_{\text{out}}}{2}=\frac{293+353}{2}=323\\ \mathrm{K}.
  • Valores típicos da água à \approx 50^\circ\mathrm{C} ( 323\\ \mathrm{K}):
    • densidade: \rho\approx 988\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • calor específico: c_{p}\approx 4182\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Usar esses valores é prática comum em prova quando o enunciado não fornece propriedades; se a prova der tabela, usar a tabela.)
Agora calculo \dot{m}:
\dot{m}=\rho\dot{V}=988\cdot 8{,}4823\times 10^{-6}\approx 0{,}008382\\ \mathrm{kg/s}.
Cálculo da potência necessária para aquecer o fluido:
\dot{Q}=\dot{m}\,c_{p}\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).
Substituindo números ( T_{\text{out}}-T_{\text{in}}=60\\ \mathrm{K}):
\dot{Q}=0{,}008382\cdot 4182\cdot 60 \approx 2103{,}6\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Cálculo do comprimento L usando a equação deduzida no Passo 2:
L=\frac{\dot{m}\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}})}{q''\,\pi D} =\frac{2103{,}6}{2000\cdot\pi\cdot 0{,}06}.
Calculo do denominador:
q''\pi D = 2000\cdot\pi\cdot 0{,}06 \approx 376{,}991118\\ \mathrm{W/m}.
Portanto
L\approx\frac{2103{,}6}{376{,}991118}\approx 5{,}58\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida de sensibilidade (dica para prova): se tivesse usado \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} obtém-se L\approx 5{,}65\\ \mathrm{m}. Ou seja, a resposta não é muito sensível a pequenas variações nas propriedades — então o valor obtido é robusto para propósitos de prova.
Mensagem de encorajamento: ficou um procedimento curto — achar L aqui é basicamente aplicar balanço de energia + calcular vazão mássica. Você consegue repetir isso na prova.

Resposta

\;L\approx 5{,}58\\ \mathrm{m}

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