Exercício 3) Um tubo de vapor de água, posicionado na horizontal, possui diâmetro externo de 100 mm , cujo número de Nusselt foi determinado ( \mathrm{Nu}=23.0 ). O tubo possui emissividade de 0.85 , temperatura superficial igual a 438 K e está instalado num ambiente a 296 K . Calcular a perda de calor do tubo por unidade de comprimento, em W/m.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo com as unidades já convertidas quando necessário):
  • Diâmetro externo do tubo: D=0{,}100\\ \text{m}.
  • Número de Nusselt: \mathrm{Nu}=23{,}0.
  • Emissividade da superfície: \varepsilon=0{,}85.
  • Temperatura superficial do tubo: T_{s}=438\\ \text{K}.
  • Temperatura do ambiente: T_{\infty}=296\\ \text{K}.
O que o problema pede: calcular a perda de calor do tubo por unidade de comprimento, isto é q' em \text{W/m}.
Observação: para a convecção exterior usamos a relação entre \mathrm{Nu} e o coeficiente convectivo h; para radiação usamos a lei de Stefan–Boltzmann. É preciso somar as perdas convectiva e radiativa por unidade de comprimento.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda):
  • Usar a definição de Nusselt para obter o coeficiente convectivo médio h:
\mathrm{Nu}=\frac{h D}{k}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D},
onde k é a condutividade térmica do ar no “filme” térmico. Vou escolher um valor típico de k para ar à temperatura de filme (ver Passo 3).
  • A perda convectiva por unidade de comprimento do cilindro é
q'_{\text{conv}}=h\,( \pi D)\,(T_{s}-T_{\infty}).
Explicação: \pi D é a área superficial por unidade de comprimento de um cilindro (perímetro vezes comprimento = \pi D \cdot 1).
  • A perda radiativa por unidade de comprimento é
q'_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,(\pi D)\,\bigl(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}\bigr),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Para facilidade de cálculo vou linearizar a parte radiativa escrevendo um coeficiente radiativo equivalente
h_{r}=\varepsilon\,\sigma\,(T_{s}^{3}+T_{s}^{2}T_{\infty}+T_{s}T_{\infty}^{2}+T_{\infty}^{3}),
pois então
q'_{\text{rad}}=h_{r}\,(\pi D)\,(T_{s}-T_{\infty}).
Assim q' = q'_{\text{conv}} + q'_{\text{rad}} = (h+h_{r})\,(\pi D)\,(T_{s}-T_{\infty}).

Passo 3

Escolha de propriedades e constantes (justificação didática): para calcular h preciso de k do ar na temperatura média (temperatura de filme)
T_{f}=\frac{T_{s}+T_{\infty}}{2}=\frac{438+296}{2}=367\\ \text{K}.
Um valor típico da condutividade térmica do ar a essa temperatura é k\approx 0{,}031\\ \text{W/(m·K)}. Vou usar esse valor (se no exame o enunciado ou tabela der outro valor, substituir).
Constante de Stefan–Boltzmann usada:
\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \text{W/(m}^{2}\text{·K}^{4}) .

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo h a partir de \mathrm{Nu}:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{23{,}0\cdot 0{,}031}{0{,}100}.
Calcule:
\frac{0{,}031}{0{,}100}=0{,}31, \qquad h=23{,}0\times 0{,}31=7{,}13\\ \text{W/(m}^{2}\text{·K)}.

Passo 5

Cálculo da perda convectiva por unidade de comprimento:
q'_{\text{conv}}=h\,(\pi D)\,(T_{s}-T_{\infty}).
Substituindo números:
\pi D=\pi\cdot 0{,}100=0{,}314159265\\ \text{m}^{2}/\text{m},
\Delta T=T_{s}-T_{\infty}=438-296=142\\ \text{K}.
Logo
q'_{\text{conv}}=7{,}13\times 0{,}314159265\times 142.
Fazendo a conta:
7{,}13\times 0{,}314159265\approx 2{,}23995, \qquad q'_{\text{conv}}\approx 2{,}23995\times 142\approx 318{,}1\\ \text{W/m}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente radiativo equivalente h_{r}. Usamos a forma
h_{r}=\varepsilon\,\sigma\,(T_{s}^{3}+T_{s}^{2}T_{\infty}+T_{s}T_{\infty}^{2}+T_{\infty}^{3}).
Primeiro calculo as potências (números grandes, mas é direto):
T_{s}^{3}=438^{3}=84\,027\,672,
T_{\infty}^{3}=296^{3}=25\,934\,336,
T_{s}^{2}T_{\infty}=438^{2}\cdot 296=191\,844\cdot 296=56\,785\,824,
T_{s}T_{\infty}^{2}=438\cdot 296^{2}=438\cdot 87\,616=38\,375\,808.
Somando:
T_{s}^{3}+T_{s}^{2}T_{\infty}+T_{s}T_{\infty}^{2}+T_{\infty}^{3}=205\,123\,640.
Agora
h_{r}=0{,}85\times 5{,}670374419\times 10^{-8}\times 205\,123\,640.
Calcule em etapas:
5{,}670374419\times 10^{-8}\times 205\,123\,640\approx 11{,}6313\\ \text{W/(m}^{2}\text{·K)},
h_{r}=0{,}85\times 11{,}6313\approx 9{,}8866\\ \text{W/(m}^{2}\text{·K)}.

Passo 7

Cálculo da perda radiativa por unidade de comprimento (usando h_{r} para facilitar):
q'_{\text{rad}}=h_{r}\,(\pi D)\,(T_{s}-T_{\infty}).
Substituindo:
q'_{\text{rad}}=9{,}8866\times 0{,}314159265\times 142.
Calculando:
9{,}8866\times 0{,}314159265\approx 3{,}10596, \qquad q'_{\text{rad}}\approx 3{,}10596\times 142\approx 441{,}0\\ \text{W/m}.

Passo 8

Soma das perdas por unidade de comprimento:
q' = q'_{\text{conv}} + q'_{\text{rad}} \approx 318{,}1 + 441{,}0 = 759{,}1\\ \text{W/m}.
Interpretação rápida: a radiação aqui é significativa e maior que a convecção por causa da alta temperatura da superfície.

Resposta

759{,}1\\ \text{W/m}

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