Exercício 3.5.5. Uma urna contém 9 bolas verdes e 3 bolas pretas. A bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bola selecionada seja substituída por uma de mesma cor antes que a próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que
(a) sejam necessárias exatamente 5 retiradas?
(b) sejam necessárias no máximo 5 retiradas?
(c) sejam necessárias no mínimo duas retiradas e no máximo quatro retiradas?

Passo 1

O enunciado descreve uma extração com reposição de bolas de uma urna que contém 9 bolas verdes e 3 pretas. A probabilidade de tirar uma bola preta em cada tentativa é
p = 312 = 14,
e de tirar uma bola verde é 1-p = tfrac34. Se N é o número de retiradas até sair a primeira bola preta, então N segue a distribuição geométrica com parâmetro p, cujo PMF é
P(N = k) = (1-p)^,k-1,p

Passo 2

Para precisar exatamente 5 retiradas até o primeiro sucesso, aplicamos
P(N=5) = (1-p)^4,p = l(tfrac34r)^4cdottfrac14 = tfrac811024

Passo 3

Para no máximo 5 retiradas, somamos de k=1 a 5 ou usamos a soma da série geométrica:
P(N <= 5) = 1 - (1-p)^5 = 1 - l(tfrac34r)^5 = 1 - tfrac2431024 = tfrac7811024

Passo 4

Para entre 2 e 4 retiradas, somamos k=2,3,4:
P(2 <= N <= 4) = sumk=2^4(1-p)^,k-1p = tfrac14l(tfrac34 + tfrac916 + tfrac2764r) = tfrac111256

Resposta

(a) tfrac811024
(b) tfrac7811024
(c) tfrac111256

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