Exercício 3.5.5. Uma urna contém 9 bolas verdes e 3 bolas pretas. A bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bola selecionada seja substituída por uma de mesma cor antes que a próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que
(a) sejam necessárias exatamente 5 retiradas?
(b) sejam necessárias no máximo 5 retiradas?
(c) sejam necessárias no mínimo duas retiradas e no máximo quatro retiradas?
(a) sejam necessárias exatamente 5 retiradas?
(b) sejam necessárias no máximo 5 retiradas?
(c) sejam necessárias no mínimo duas retiradas e no máximo quatro retiradas?
Passo 1
O enunciado descreve uma extração com reposição de bolas de uma urna que contém
bolas verdes e
pretas. A probabilidade de tirar uma bola preta em cada tentativa é
e de tirar uma bola verde é
. Se
é o número de retiradas até sair a primeira bola preta, então
segue a distribuição geométrica com parâmetro
, cujo PMF é
Passo 2
Para precisar exatamente
retiradas até o primeiro sucesso, aplicamos
Passo 3
Para no máximo
retiradas, somamos de
a
ou usamos a soma da série geométrica:
Passo 4
Para entre
e
retiradas, somamos
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)