Exercício 24. Considere:
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \neq 1 \\\\ 2, & x=1\end{cases}
A função é contínua em x=1 ?
Hint: Compare limite e valor da função.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \neq 1 \\[4pt] 2, & x=1\end{cases}
A pergunta é: a função é contínua em x=1?
Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo x diferente de 1, vale f(x)=x^{2}.
  • Em x=1 a função toma o valor f(1)=2.
  • Pede-se verificar continuidade em x=1.]

Passo 2

Lembrete do conceito (o que vou usar): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso significa duas coisas que precisam ocorrer ao mesmo tempo:
  1. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito.
  2. Esse limite é igual ao valor da função no ponto, f(a).

Passo 3

Como f é definida por x^{2} em todos os pontos próximos de 1 (exceto em 1 propriamente dito), o limite quando x tende a 1 é o mesmo que o limite da função x^{2}. Usando a propriedade de que polinômios são contínuos por substituição direta:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} x^{2}=1^{2}=1.
Aqui expliquei: mesmo que f(1) esteja definido de forma diferente, o limite considera apenas valores com x\neq 1, onde f(x)=x^{2}.

Passo 4

Agora compare o limite com o valor da função em 1:
\lim_{x\to 1} f(x)=1,\qquad f(1)=2.
Como 1\neq 2, a igualdade exigida pela definição de continuidade falha. Portanto a função não é contínua em x=1.

Passo 5

Observação adicional (útil para a prova): o limite existe e é finito, mas difere do valor da função — isso é chamado de descontinuidade removível. Se alguém redefinisse f(1) para ser 1 (ou seja, colocasse f(1)=1), a função ficaria contínua em 1. Um exemplo paralelo: a função definida por \tilde f(x)=x^{2} para todo x (incluindo 1) é contínua em 1 porque \lim_{x\to1}x^{2}=1=\tilde f(1).

Resposta

Não, a função não é contínua em x=1.

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