Exercício 5
Considere a 1 -forma diferencial omega(x, y, z)=f1(x, y, z) d x+f2(x, y, z) d y+f3(x, y, z) d z em R^3. Existe uma função g: R^3 R^3, g=(g1, g2, g3) tal que d omega(x, y, z)=g1(x, y, z) d y wed>= d z+g2(x, y, z) d z wed>= d x+g3(x, y, z) d x wed>= d y. Quem é essa função? Justifique calculando d omega.

Passo 1

O enunciado nos dá a 1-forma
omega=f1(x,y,z),dx+f2(x,y,z),dy+f3(x,y,z),dz
em R^3 e pede para encontrar g=(g1,g2,g3) tal que
domega = g1,dywed>= dz+g2,dzwed>= dx+g3,dxwed>= dy
O conteúdo aqui é o cálculo da derivada exterior de uma 1-forma, usando derivadas parciais e propriedades do produto exterior.

Passo 2

Usamos a definição
domega =d(f1)wed>= dx+d(f2)wed>= dy+d(f3)wed>= dz
Como d(fi)=partialxfi,dx+partialyfi,dy+partialzfi,dz, cada termo será expandido e simplificado.

Passo 3

Calculemos cada parcela, lembrando que dxwed>= dx=0, etc.:
  1. d(f1)wed>= dx =(partialyf1,dy+partialzf1,dz)wed>= dx =partialyf1,dywed>= dx+partialzf1,dzwed>= dx
  2. d(f2)wed>= dy =(partialxf2,dx+partialzf2,dz)wed>= dy =partialxf2,dxwed>= dy+partialzf2,dzwed>= dy
  3. d(f3)wed>= dz =(partialxf3,dx+partialyf3,dy)wed>= dz =partialxf3,dxwed>= dz+partialyf3,dywed>= dz

Passo 4

Agora somamos e reordenamos cada produto exterior para escrever em dywed>= dz, dzwed>= dx e dxwed>= dy. Lembrando dywed>= dx=-,dxwed>= dy e dxwed>= dz=-,dzwed>= dx, obtemos:
Termo em dywed>= dz:
partialyf3,dywed>= dz -partialzf2,dywed>= dz =(partialyf3-partialzf2),dywed>= dz
Termo em dzwed>= dx:
partialzf1,dzwed>= dx -partialxf3,dzwed>= dx =(partialzf1-partialxf3),dzwed>= dx
Termo em dxwed>= dy:
partialxf2,dxwed>= dy -partialyf1,dxwed>= dy =(partialxf2-partialyf1),dxwed>= dy

Passo 5

Comparando com
domega = g1,dywed>= dz+g2,dzwed>= dx+g3,dxwed>= dy,
vemos que
g1=partialyf3-partialzf2, g2=partialzf1-partialxf3, g3=partialxf2-partialyf1

Resposta

g(x,y,z) =l(partialyf3-partialzf2,;partialzf1-partialxf3,;partialxf2-partialyf1r)

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