Exercício 5
Considere a 1 -forma diferencial
em
. Existe uma função
tal que
. Quem é essa função? Justifique calculando
.
Considere a 1 -forma diferencial
Passo 1
O enunciado nos dá a 1-forma
em e pede para encontrar
tal que
em
O conteúdo aqui é o cálculo da derivada exterior de uma 1-forma, usando derivadas parciais e propriedades do produto exterior.
Passo 2
Usamos a definição
Como
, cada termo será expandido e simplificado.
Passo 3
Calculemos cada parcela, lembrando que
, etc.:
Passo 4
Agora somamos e reordenamos cada produto exterior para escrever em
,
e
. Lembrando
e
, obtemos:
Termo em
:
Termo em
:
Termo em
:
Passo 5
Comparando com
vemos que