Exercício 5. Considere a função
dada por
, para todo
. Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de
e o eixo
.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida em
e pede a área da região entre o gráfico de
e o eixo
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Dado: a função
definida por para todo . - Pedido: calcular a área da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo e pelas retas verticais e . Em outras palavras, a área sob a curva de entre e .
Passo 2
Por que podemos usar integral para calcular essa área? Explicação didática.
- Se uma função é contínua em um intervalo fechado
, então ela é integrável nesse intervalo e a área sob seu gráfico entre e é dada pela integral definida
- A função
é contínua em todo , portanto é contínua (e integrável) em . Logo podemos calcular a área pedida por
(Isto vem da definição de integral como limite de somas de retângulos — Riemann — e do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas a antiderivadas.)
Passo 3
Escrever explicitamente a integral que vamos calcular.
Agora precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
.
Passo 4
Encontrar a antiderivada de
com explicação passo a passo.
- Conhecimento útil: a função
(a inversa da função restrita ao intervalo ) tem derivada
- Prova curta desse fato (para fixar bem): seja
. Então . Diferenciando ambos os lados em relação a ,
Logo
Mas
, e como
temos
. Substituindo,
- Assim,
é uma primitiva de . Ou seja,
então uma antiderivada é
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
- Avaliar os arctangentes:
porque . E porque . - Portanto
Passo 6
Interpretação final e valor numérico aproximado para intuição.
- A área procurada é
. - Em valor decimal aproximado,
, ou cerca de .
Força aí — você já tem o procedimento padrão: reconhecer a integral definida da área, achar a primitiva (aqui
) e aplicar os limites. Isso resolve muitos problemas de área em provas sem pânico.