Exercício 5. Considere a função f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, para todo x \in[0,1]. Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em [0,1] e pede a área da região entre o gráfico de f e o eixo x. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dado: a função \;f:[0,1]\to\mathbb{R} definida por \;f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} para todo x\in[0,1].
  • Pedido: calcular a área da região limitada pelo gráfico de \;y=f(x), pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=1. Em outras palavras, a área sob a curva de f entre x=0 e x=1.

Passo 2

Por que podemos usar integral para calcular essa área? Explicação didática.
  • Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], então ela é integrável nesse intervalo e a área sob seu gráfico entre a e b é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
  • A função \;f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}, portanto é contínua (e integrável) em [0,1]. Logo podemos calcular a área pedida por
\text{Área}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.Á
(Isto vem da definição de integral como limite de somas de retângulos — Riemann — e do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas a antiderivadas.)

Passo 3

Escrever explicitamente a integral que vamos calcular.
\text{Área}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.Á
Agora precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Encontrar a antiderivada de \dfrac{1}{1+x^{2}} com explicação passo a passo.
  • Conhecimento útil: a função \arctan(x) (a inversa da função \tan restrita ao intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})) tem derivada
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Prova curta desse fato (para fixar bem): seja y=\arctan x. Então \tan y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Mas \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y, e como \tan y=x temos \operatorname{sec}^{2}y=1+x^{2}. Substituindo,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Assim, \arctan x é uma primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}},
então uma antiderivada é F(x)=\arctan x.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \big[\arctan x\big]_{0}^{1} = \arctan(1)-\arctan(0).
  • Avaliar os arctangentes: \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} porque \tan\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1. E \arctan(0)=0 porque \tan(0)=0.
  • Portanto
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Interpretação final e valor numérico aproximado para intuição.
  • A área procurada é \dfrac{\pi}{4}.
  • Em valor decimal aproximado, \dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785398, ou cerca de 0{,}7854.
Força aí — você já tem o procedimento padrão: reconhecer a integral definida da área, achar a primitiva (aqui \arctan x) e aplicar os limites. Isso resolve muitos problemas de área em provas sem pânico.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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