Exercício 5. Considere a função f dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+x, & \text { se } x<0 \\\ a x+b, & \text { se } x \geq 0 \end{array} .\right.
Determine o valor de b para que f seja contínua em x=0. Determine o valor de a para que f seja diferenciável em x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}+x, & \text{se } x<0,\\[4pt] ax+b, & \text{se } x\ge 0, \end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Determinar o valor de b para que f seja contínua em x=0.
  2. Determinar o valor de a para que f seja diferenciável em x=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{ramo à esquerda: } f(x)=x^{2}+x \text{ para } x<0,à
\text{ramo à direita: } f(x)=ax+b \text{ para } x\ge 0.à]

Passo 2

O que significa ser contínua em x=0? Vou explicar devagar: dizer que f é contínua em x=0 quer dizer que o limite de f(x) quando x tende a 0 existe e é igual ao valor f(0). Para funções por partes, isso significa que os limites laterais têm que coincidir e igualar o valor em 0:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0).
Aqui, pelo enunciado, o valor f(0) é obtido usando o ramo x\ge 0, portanto
f(0)=a\cdot 0 + b = b.
Agora vamos calcular os limites laterais.

Passo 3

Calcule o limite pela esquerda \lim_{x\to 0^-} f(x). Como para x<0 temos f(x)=x^{2}+x, então
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x^{2}+x).
Usamos que x^{2}\to 0 e x\to 0 quando x\to 0, então a soma tende a 0. Logo
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0.

Passo 4

Calcule o limite pela direita \lim_{x\to 0^+} f(x). Para x\ge 0 temos f(x)=ax+b. Então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (ax+b)=a\cdot 0 + b = b.
Para continuidade em 0 precisamos que o limite pela esquerda (que achamos ser 0) seja igual ao valor f(0) (que é b). Portanto impondo igualdade:
0=b.
Concluímos que o valor necessário para continuidade é b=0.

Passo 5

Agora vamos à diferenciabilidade em x=0. Primeiro uma explicação: ser diferenciável em x=0 significa que a derivada, calculada como limite do quociente incremental,
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
existe. Para funções por partes é comum verificar as derivadas laterais: a derivada à esquerda e a derivada à direita em 0 devem existir e coincidir. Além disso, lembrando uma propriedade importante: se f é diferenciável em 0, então f é necessariamente contínua em 0. Como quisemos diferenciabilidade, já devemos ter o b que garante continuidade; do passo anterior temos b=0. Vou usar isso ao calcular as derivadas laterais.

Passo 6

Calcule a derivada lateral à esquerda em 0. Usamos a definição de derivada lateral:
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Sabemos f(0)=b=0 e para x<0 f(x)=x^{2}+x. Então
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{2}+x-0}{x}=\lim_{x\to 0^-}(x+1).
Esse limite é simples: quando x\to 0 a expressão x+1 tende a 1. Portanto
f'_{-}(0)=1.

Passo 7

Calcule a derivada lateral à direita em 0. Usamos
f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Com f(0)=0 e f(x)=ax+b=ax+0 para x\ge 0, temos
f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{ax}{x}=\lim_{x\to 0^+} a = a.
Ou, de forma mais direta, o ramo à direita é linear ax+b e sua derivada é constante a.

Passo 8

Para que f seja diferenciável em 0 precisamos que as derivadas laterais coincidam:
f'_{-}(0)=f'_{+}(0).
Substituindo os valores que encontramos:
1 = a.
Portanto a=1. Também é importante lembrar que já exigimos b=0 para continuidade; assim a escolha completa para diferenciabilidade é a=1 e b=0.

Resposta

b=0
a=1

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