Exercício 5. Considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
. Determine o valor de
para que
seja diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede duas coisas:
- Determinar o valor de
para que seja contínua em . - Determinar o valor de
para que seja diferenciável em .
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa ser contínua em
? Vou explicar devagar: dizer que
é contínua em
quer dizer que o limite de
quando
tende a
existe e é igual ao valor
. Para funções por partes, isso significa que os limites laterais têm que coincidir e igualar o valor em
:
Aqui, pelo enunciado, o valor
é obtido usando o ramo
, portanto
Agora vamos calcular os limites laterais.
Passo 3
Calcule o limite pela esquerda
. Como para
temos
, então
Usamos que
e
quando
, então a soma tende a
. Logo
Passo 4
Calcule o limite pela direita
. Para
temos
. Então
Para continuidade em
precisamos que o limite pela esquerda (que achamos ser
) seja igual ao valor
(que é
). Portanto impondo igualdade:
Concluímos que o valor necessário para continuidade é
.
Passo 5
Agora vamos à diferenciabilidade em
. Primeiro uma explicação: ser diferenciável em
significa que a derivada, calculada como limite do quociente incremental,
existe. Para funções por partes é comum verificar as derivadas laterais: a derivada à esquerda e a derivada à direita em
devem existir e coincidir. Além disso, lembrando uma propriedade importante: se
é diferenciável em
, então
é necessariamente contínua em
. Como quisemos diferenciabilidade, já devemos ter o
que garante continuidade; do passo anterior temos
. Vou usar isso ao calcular as derivadas laterais.
Passo 6
Calcule a derivada lateral à esquerda em
. Usamos a definição de derivada lateral:
Sabemos
e para
. Então
Esse limite é simples: quando
a expressão
tende a
. Portanto
Passo 7
Calcule a derivada lateral à direita em
. Usamos
Com
e
para
, temos
Ou, de forma mais direta, o ramo à direita é linear
e sua derivada é constante
.
Passo 8
Para que
seja diferenciável em
precisamos que as derivadas laterais coincidam:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto
. Também é importante lembrar que já exigimos
para continuidade; assim a escolha completa para diferenciabilidade é
e
.