Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
com a restrição explícita de que não se pode usar a Regra de L’Hôpital. As informações que temos são: o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio
. O ponto de interesse para o limite é
. Não vamos resolver nada neste passo, só listar o que foi dado.
Passo 2
Primeira tentativa: testar substituição direta (essa é sempre a primeira coisa a tentar numa prova, porque muitas vezes o limite é trivial). Substituindo
nas expressões:
Vamos calcular isso no próximo passo (esta substituição é um teste; se der
teremos uma indeterminação que exige manipulação algébrica).
Passo 3
Calculemos a substituição direta para ver o que acontece. Primeiro o numerador:
Agora o denominador:
Portanto a substituição direta fornece a forma indeterminada
. Isso significa que o limite pode existir, mas não podemos concluir só com a substituição; precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 4
Técnica padrão para indeterminação
com racionais: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns que causem a indeterminação. Comecemos fatorando o numerador. Escreve-se
Agora fatoramos a quadrática
. Procuramos dois números que multiplicam para
(termo constante) e somam
(coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
e
. Assim:
Logo o numerador fica
Passo 5
Agora fatoramos o denominador
. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
, pois
e
. Assim:
Passo 6
Substituindo as fatorações na expressão do limite temos, para
,
Como estamos calculando um limite em que
se aproxima de
mas não é exatamente
, podemos cancelar o fator comum
que aparece no numerador e no denominador (a cancelamento vale para todos os
com
). Após cancelar obtemos a função equivalente para
:
Passo 7
Agora observamos que a função simplificada
é contínua no ponto
(porque o denominador em
é
). Para funções contínuas, o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto podemos avaliar diretamente em
:
Passo 8
Resultado final: o limite existe e vale
. Um recado rápido para a prova: sempre tente a substituição direta; se der
tente fatorar e cancelar fatores comuns — é a técnica mais comum quando a Regra de L’Hôpital não pode ou não deve ser usada. Exemplo rápido para treinar:
. Fatorando
e cancelando
dá
.