Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x^{2}-5x+6},
com a restrição explícita de que não se pode usar a Regra de L’Hôpital. As informações que temos são: o numerador é o polinômio x^{3}-x^{2}-2x e o denominador é o polinômio x^{2}-5x+6. O ponto de interesse para o limite é x=2. Não vamos resolver nada neste passo, só listar o que foi dado.

Passo 2

Primeira tentativa: testar substituição direta (essa é sempre a primeira coisa a tentar numa prova, porque muitas vezes o limite é trivial). Substituindo x=2 nas expressões:
\text{numerador: }2^{3}-2^{2}-2\cdot 2,\qquad \text{denominador: }2^{2}-5\cdot 2+6.
Vamos calcular isso no próximo passo (esta substituição é um teste; se der 0/0 teremos uma indeterminação que exige manipulação algébrica).

Passo 3

Calculemos a substituição direta para ver o que acontece. Primeiro o numerador:
2^{3}-2^{2}-2\cdot 2 = 8-4-4 = 0.
Agora o denominador:
2^{2}-5\cdot 2+6 = 4-10+6 = 0.
Portanto a substituição direta fornece a forma indeterminada 0/0. Isso significa que o limite pode existir, mas não podemos concluir só com a substituição; precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 4

Técnica padrão para indeterminação 0/0 com racionais: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns que causem a indeterminação. Comecemos fatorando o numerador. Escreve-se
x^{3}-x^{2}-2x = x\bigl(x^{2}-x-2\bigr).
Agora fatoramos a quadrática \;x^{2}-x-2\;. Procuramos dois números que multiplicam para -2 (termo constante) e somam -1 (coeficiente de x). Esses números são -2 e 1, pois (-2)\cdot 1 = -2 e (-2)+1 = -1. Assim:
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1).
Logo o numerador fica
x^{3}-x^{2}-2x = x(x-2)(x+1).

Passo 5

Agora fatoramos o denominador x^{2}-5x+6. Procuramos dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3, pois (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5. Assim:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).

Passo 6

Substituindo as fatorações na expressão do limite temos, para x\neq 2,
\frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x^{2}-5x+6} = \frac{x(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-3)}.
Como estamos calculando um limite em que x se aproxima de 2 mas não é exatamente 2, podemos cancelar o fator comum (x-2) que aparece no numerador e no denominador (a cancelamento vale para todos os x com x\neq 2). Após cancelar obtemos a função equivalente para x\neq 2:
\frac{x(x+1)}{x-3}.

Passo 7

Agora observamos que a função simplificada \dfrac{x(x+1)}{x-3} é contínua no ponto x=2 (porque o denominador em x=2 é 2-3=-1\neq 0). Para funções contínuas, o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto podemos avaliar diretamente em x=2:
\lim_{x\to 2}\frac{x(x+1)}{x-3} = \frac{2\cdot(2+1)}{2-3} = \frac{2\cdot 3}{-1} = -6.

Passo 8

Resultado final: o limite existe e vale -6. Um recado rápido para a prova: sempre tente a substituição direta; se der 0/0 tente fatorar e cancelar fatores comuns — é a técnica mais comum quando a Regra de L’Hôpital não pode ou não deve ser usada. Exemplo rápido para treinar: \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Fatorando \;x^{2}-1=(x-1)(x+1)\; e cancelando (x-1) \lim_{x\to1}(x+1)=2.

Resposta

-6

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