Exercício 2. Considere a função
dada por
, para todo
. Mostre que
é derivável, mas
não é derivável.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para todo
. Pede-se que se mostre duas coisas:
-
é derivável em todo (ou seja, existe para todo ); - a função derivada
não é derivável (ou seja, existe pelo menos um ponto onde não tem derivada).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita
. - Queremos analisar derivabilidade de
e de em todos os pontos (com atenção especial a , que costuma ser o ponto crítico em funções com valor absoluto).
Passo 2
Lembrete rápido e útil (definições que vou usar):
- Definição de derivada num ponto
: é derivável em se o limite
existe (finito). Esse limite, quando existe, é
.
- Para verificar derivabilidade num ponto em que a expressão da função muda (p.ex.
aqui), é comum calcular as derivadas laterais (os limites com e ). Se as duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então a derivada existe. - Regra prática: se uma função é dada por pedaços suaves em cada lado de um ponto, calcule a derivada em cada lado (pela regra do poder, produto, etc.) e verifique se as duas se igualam no ponto. Quando um dos lados exige, calcule diretamente o limite definicional.
Se precisar revisar por que
: usar a definição da derivada dá
Passo 3
Primeiro escrevo
de forma explícita por partes, usando que
se
e
se
. Assim
Isso é só reescrever a função em forma de peça, um passo simples mas essencial.]
Passo 4
Calculo
para
usando derivadas usuais (cada ramo é um polinômio).
- Para
temos . Usando o cálculo do passo anterior, . Logo, para ,
- Para
temos . Derivando, . Logo, para ,
Portanto, em
já temos
dado por essas expressões.
Passo 5
Agora preciso verificar derivabilidade em
usando a definição. Primeiro
(porque
). Calculo o quociente incremental e seus limites laterais:
- Limite pela direita (
):
Fazendo
obtemos
.
- Limite pela esquerda (
):
Fazendo
obtemos
.
As duas derivadas laterais existem e são iguais a
. Portanto a derivada em
existe e vale
.
Conclusão parcial:
é derivável em todo
(em
pelos cálculos das regras usuais; em
pelo limite definicional acima).
Passo 6
Escrevo então a expressão completa para
Repare que isso pode ser escrito de forma mais compacta como
porque para
, para
temos
, e em
dá
.]
Passo 7
Agora verifico a derivabilidade da função
. Vou checar o ponto
, pois para
a função
é dada por
(quando
) ou
(quando
), que são funções polinomiais e, portanto, deriváveis nesses pontos. O possível problema é em
.
Uso a definição para a derivada de
em
(ou calculo as derivadas laterais):
- Limite pela direita:
- Limite pela esquerda:
Como as derivadas laterais de
em
são diferentes (
e
), o limite total
não existe. Portanto
não é derivável em
.
Comentário intuitivo e rápido:
tem “canto” em
(é a função valor absoluto multiplicada por
), e a função valor absoluto não é diferenciável em
.
Passo 8
Conclusões finais (recapitulando com calma):
-
é derivável em todo e sua derivada é . - A função derivada
é diferenciável em todo (porque lá é linear: derivada igual a ou ), mas não é diferenciável em (as derivadas laterais em são diferentes).
Força aí — esse tipo de exemplo é clássico: a multiplicação por
pode esconder uma mudança de sinal que causa um “canto” na derivada, então a função original pode ser suave mas a derivada ter um ponto não diferenciável.