Exercício 2. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x|x|, para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que f é derivável, mas f^{\prime}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} não é derivável.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x|x| para todo x\in\mathbb{R}. Pede-se que se mostre duas coisas:
  • f é derivável em todo \mathbb{R} (ou seja, existe f'(x) para todo x\in\mathbb{R});
  • a função derivada f':\mathbb{R}\to\mathbb{R} não é derivável (ou seja, existe pelo menos um ponto onde f' não tem derivada).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita f(x)=x|x|.
  • Queremos analisar derivabilidade de f e de f' em todos os pontos (com atenção especial a x=0, que costuma ser o ponto crítico em funções com valor absoluto).

Passo 2

Lembrete rápido e útil (definições que vou usar):
  • Definição de derivada num ponto a: f é derivável em a se o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (finito). Esse limite, quando existe, é f'(a).
  • Para verificar derivabilidade num ponto em que a expressão da função muda (p.ex. x=0 aqui), é comum calcular as derivadas laterais (os limites com h\to0^+ e h\to0^-). Se as duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então a derivada existe.
  • Regra prática: se uma função é dada por pedaços suaves em cada lado de um ponto, calcule a derivada em cada lado (pela regra do poder, produto, etc.) e verifique se as duas se igualam no ponto. Quando um dos lados exige, calcule diretamente o limite definicional.
Se precisar revisar por que \dfrac{d}{dx}x^2=2x: usar a definição da derivada dá
\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\quad\text{e fazendo }h\to0\text{ obtém-se }2x.é

Passo 3

Primeiro escrevo f de forma explícita por partes, usando que |x|=x se x\ge0 e |x|=-x se x<0. Assim
f(x)=x|x|= \begin{cases} x\cdot x = x^2, & x\ge0,\\[4pt] x\cdot(-x) = -x^2, & x<0. \end{cases}
Isso é só reescrever a função em forma de peça, um passo simples mas essencial.]

Passo 4

Calculo f'(x) para x\neq0 usando derivadas usuais (cada ramo é um polinômio).
  • Para x>0 temos f(x)=x^2. Usando o cálculo do passo anterior, \dfrac{d}{dx}x^2=2x. Logo, para x>0,
f'(x)=2x.
  • Para x<0 temos f(x)=-x^2. Derivando, \dfrac{d}{dx}(-x^2)=-2x. Logo, para x<0,
f'(x)=-2x.
Portanto, em x\neq0 já temos f'(x) dado por essas expressões.

Passo 5

Agora preciso verificar derivabilidade em x=0 usando a definição. Primeiro f(0)=0 (porque 0|0|=0). Calculo o quociente incremental e seus limites laterais:
  • Limite pela direita ( h\to0^+):
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)-0}{h}=\frac{h^2}{h}=h.
Fazendo h\to0^+ obtemos \lim_{h\to0^+}h=0.
  • Limite pela esquerda ( h\to0^-):
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)-0}{h}=\frac{-h^2}{h}=-h.
Fazendo h\to0^- obtemos \lim_{h\to0^-}-h=0.
As duas derivadas laterais existem e são iguais a 0. Portanto a derivada em 0 existe e vale f'(0)=0.
Conclusão parcial: f é derivável em todo \mathbb{R} (em x\neq0 pelos cálculos das regras usuais; em x=0 pelo limite definicional acima).

Passo 6

Escrevo então a expressão completa para f'\) (juntando os casos e o valor em \(0\)): \[f'(x)= \begin{cases} 2x, & x>0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] -2x, & x<0. \end{cases}
Repare que isso pode ser escrito de forma mais compacta como
f'(x)=2|x|\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
porque para x>0\] temos \(2|x|=2x, para x<0 temos 2|x|=-2x, e em 0 0.]

Passo 7

Agora verifico a derivabilidade da função f'. Vou checar o ponto x=0, pois para x\neq0 a função f' é dada por 2x (quando x>0) ou -2x (quando x<0), que são funções polinomiais e, portanto, deriváveis nesses pontos. O possível problema é em 0.
Uso a definição para a derivada de f' em 0 (ou calculo as derivadas laterais):
  • Limite pela direita:
\lim_{h\to0^+}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{2h-0}{h}=\lim_{h\to0^+}2=2.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{h\to0^-}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-2h-0}{h}=\lim_{h\to0^-}-2=-2.
Como as derivadas laterais de f' em 0 são diferentes ( 2 e -2 ), o limite total \lim_{h\to0}\dfrac{f'(h)-f'(0)}{h} não existe. Portanto f' não é derivável em 0.
Comentário intuitivo e rápido: f'(x)=2|x| tem “canto” em x=0 (é a função valor absoluto multiplicada por 2), e a função valor absoluto não é diferenciável em 0.

Passo 8

Conclusões finais (recapitulando com calma):
  • f é derivável em todo \mathbb{R} e sua derivada é f'(x)=2|x|.
  • A função derivada f' é diferenciável em todo x\neq0 (porque lá é linear: derivada igual a 2 ou -2), mas não é diferenciável em x=0 (as derivadas laterais em 0 são diferentes).
Força aí — esse tipo de exemplo é clássico: a multiplicação por |x| pode esconder uma mudança de sinal que causa um “canto” na derivada, então a função original pode ser suave mas a derivada ter um ponto não diferenciável.

Resposta

f é derivável em \mathbb{R} e f'(x)=2|x| para todo x\in\mathbb{R}.\n
f' não é derivável em x=0 (as derivadas laterais em 0 valem 2 e -2).

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