Exercício 3. Determine os pontos críticos das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a função e pede os pontos críticos:
- Função dada:
. - Domínio:
.
O que é pedido: determinar os pontos críticos de(ou seja, os valores de onde tem derivada nula ou onde a derivada não está definida).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicado com calma):
- Derivada: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de em relação a . Para achar pontos críticos procuramos onde ou onde não existe. - Regra do poder (power rule) para derivar: se
, com constante e número inteiro positivo, então
Exemplo pequeno: Se
, então
. Se
, então
. Constantes desaparecem ao derivar: se
é constante, então
.
Passo 3
Aplicando a regra do poder à nossa função
:
- Derivada do termo
: usando e ,
- Derivada da constante
é .
Portanto, a derivada da função é
Passo 4
Encontrar onde
ou onde
não existe:
- Resolver
:
- Verificar onde
não existe: é um polinômio definido para todo , então não há pontos onde a derivada deixa de existir.
Conclusão desta etapa: o único valor deque torna é .
Passo 5
Expressar o ponto crítico como ponto no plano e classificar (teste da segunda derivada, aula rápida):
- Valor da função em
:
Logo o ponto crítico é o ponto
.
- Teste da segunda derivada para classificar: calcule
.
Como
, pela regra do teste da segunda derivada
tem um mínimo local em
. Intuição: derivada positiva de segunda ordem significa que a curvatura está para cima, formando um “vale”.
Resposta
O único ponto crítico é
, correspondente ao ponto
. É um mínimo local (pois
).