Exercício 3. Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=5 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado nos dá a função e pede os pontos críticos:
  • Função dada: f(x)=5x^{2}+4.
  • Domínio: \mathbb{R}.
    O que é pedido: determinar os pontos críticos de f (ou seja, os valores de x onde f tem derivada nula ou onde a derivada não está definida).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicado com calma):
  • Derivada: a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Para achar pontos críticos procuramos onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe.
  • Regra do poder (power rule) para derivar: se g(x)=a x^{n}, com a constante e n número inteiro positivo, então
g'(x)=a\cdot n \, x^{n-1}.
Exemplo pequeno: Se h(x)=x^{3}, então h'(x)=3x^{2}. Se k(x)=7x, então k'(x)=7. Constantes desaparecem ao derivar: se c é constante, então c'=0.

Passo 3

Aplicando a regra do poder à nossa função f(x)=5x^{2}+4:
  • Derivada do termo 5x^{2}: usando a=5 e n=2,
(5x^{2})' = 5\cdot 2\, x^{2-1} = 10x.
  • Derivada da constante 4 é 0.
    Portanto, a derivada da função é
f'(x)=10x.

Passo 4

Encontrar onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe:
  • Resolver f'(x)=0:
10x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Verificar onde f'(x) não existe: f'(x)=10x é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}, então não há pontos onde a derivada deixa de existir.
    Conclusão desta etapa: o único valor de x que torna f'(x)=0 é x=0.

Passo 5

Expressar o ponto crítico como ponto no plano e classificar (teste da segunda derivada, aula rápida):
  • Valor da função em x=0:
f(0)=5\cdot 0^{2}+4=4.
Logo o ponto crítico é o ponto (0,4).
  • Teste da segunda derivada para classificar: calcule f''(x).
f''(x)=(f'(x))'=(10x)'=10.
Como f''(0)=10>0, pela regra do teste da segunda derivada f tem um mínimo local em x=0. Intuição: derivada positiva de segunda ordem significa que a curvatura está para cima, formando um “vale”.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, correspondente ao ponto (0,4). É um mínimo local (pois f''(0)=10>0).

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