Exercício 1. Fixado um número natural positivo
, determine a derivada de ordem
de cada uma das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: para um número natural positivo
fixado, determinar a derivada de ordem
de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
para todo . - O número
é um inteiro natural positivo (ou seja, ).
O que se pede: - Encontrar
, a n-ésima derivada de , expressa em termos de (e possivelmente de ).
Passo 2
Lembrete importante sobre notação e conceito: a n-ésima derivada
significa aplicar a operação de derivar
vezes sucessivas. Por exemplo,
,
, etc.
Agora, uma propriedade fundamental que usamos aqui é que a função exponencial tem a derivada igual a si mesma:
Agora, uma propriedade fundamental que usamos aqui é que a função exponencial tem a derivada igual a si mesma:
Explico por que isso é verdade de forma simples e rigorosa usando a série de Taylor de
. A série de
centrada em
é
Essa série converge para todo
. Como é uma série de potências convergente, pode-se derivá-la termo a termo, obtendo
Fazendo a troca de índice
(ou seja,
), a soma fica
que é novamente a série de
. Logo,
Isso mostra, de forma clara, que a derivada primeira de
é ela mesma.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas para observar um padrão (mostrando passo a passo, como você pediu):
- A função original:
. - Derivada primeira:
- Derivada segunda:
- Derivada terceira:
Já dá para ver a tendência: as derivadas repetidas continuam iguais a
.
Passo 4
Para formalizar o padrão usamos indução (um procedimento muito útil em provas): mostrar que para todo inteiro natural
vale
.
Base da indução: para
já vimos que
portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo indutivo: suponha que, para algum
, vale
Então a derivada de ordem
é
onde usei a propriedade já explicada no Passo 2. Assim, se a propriedade vale para
, vale para
.
Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo natural
.
Passo 5
Observações úteis e interpretação do resultado:
- A n-ésima derivada
não depende de (além de exigir natural): todas as derivadas são a mesma função . - Notação: sempre que aparecer
significa aplicar a derivação vezes. Neste caso, para qualquer ,
- Domínio e validade: isto vale para todo
e todo natural (incluindo se considerarmos , aí também dá ).
Passo 6
Exemplos concretos para fixar:
-
. - Em particular,
. Na verdade, para todo .
Dica rápida para prova: se aparecerem vez de , o mesmo raciocínio dá
o que é útil em várias questões de prova.