Exercício 1. Fixado um número natural positivo n, determine a derivada de ordem n de cada uma das seguintes funções:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=e^{x} e pede: para um número natural positivo n fixado, determinar a derivada de ordem n de f.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{x} para todo x\in\mathbb{R}.
  • O número n é um inteiro natural positivo (ou seja, n=1,2,3,\dots).
    O que se pede:
  • Encontrar f^{(n)}(x), a n-ésima derivada de f, expressa em termos de x (e possivelmente de n).

Passo 2

Lembrete importante sobre notação e conceito: a n-ésima derivada f^{(n)} significa aplicar a operação de derivar n vezes sucessivas. Por exemplo, f^{(1)}=f', f^{(2)}=f'', etc.
Agora, uma propriedade fundamental que usamos aqui é que a função exponencial tem a derivada igual a si mesma:
\frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}.
Explico por que isso é verdade de forma simples e rigorosa usando a série de Taylor de e^{x}. A série de e^{x} centrada em 0 é
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}.
Essa série converge para todo x\in\mathbb{R}. Como é uma série de potências convergente, pode-se derivá-la termo a termo, obtendo
\frac{d}{dx}e^{x}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\,x^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}.
Fazendo a troca de índice j=k-1 (ou seja, k=j+1), a soma fica
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{j}}{j!},
que é novamente a série de e^{x}. Logo,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isso mostra, de forma clara, que a derivada primeira de e^{x} é ela mesma.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas para observar um padrão (mostrando passo a passo, como você pediu):
  • A função original: f(x)=e^{x}.
  • Derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada terceira:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}f''(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Já dá para ver a tendência: as derivadas repetidas continuam iguais a e^{x}.

Passo 4

Para formalizar o padrão usamos indução (um procedimento muito útil em provas): mostrar que para todo inteiro natural n\ge 1 vale f^{(n)}(x)=e^{x}.
Base da indução: para n=1 já vimos que
f^{(1)}(x)=f'(x)=e^{x},
portanto a propriedade é verdadeira para n=1.
Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge 1, vale
f^{(k)}(x)=e^{x}.
Então a derivada de ordem k+1 é
f^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(k)}(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
onde usei a propriedade já explicada no Passo 2. Assim, se a propriedade vale para k, vale para k+1.
Pelo princípio da indução matemática, a igualdade f^{(n)}(x)=e^{x} vale para todo natural n\ge 1.

Passo 5

Observações úteis e interpretação do resultado:
  • A n-ésima derivada f^{(n)}(x) não depende de n (além de exigir n natural): todas as derivadas são a mesma função e^{x}.
  • Notação: sempre que aparecer f^{(n)}(x) significa aplicar a derivação n vezes. Neste caso, para qualquer n\in\mathbb{N},
f^{(n)}(x)=e^{x}.
  • Domínio e validade: isto vale para todo x\in\mathbb{R} e todo n natural (incluindo n=0 se considerarmos f^{(0)}=f, aí também dá f^{(0)}(x)=e^{x}).

Passo 6

Exemplos concretos para fixar:
  • f^{(5)}(x)=e^{x}.
  • Em particular, f^{(5)}(0)=e^{0}=1. Na verdade, f^{(n)}(0)=1 para todo n.
    Dica rápida para prova: se aparecer e^{ax} em vez de e^{x}, o mesmo raciocínio dá
\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{ax}=a^{n}e^{ax},
o que é útil em várias questões de prova.

Resposta

f^{(n)}(x)=e^{x}

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