Exercício 5. Determine os valores máximos e mínimos globais da função f:[-4,4] \rightarrow \mathbb{R} definida como:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} 1-\sqrt{x}, \text { se } x \geq 0 \\\\ 1-\sqrt{-x}, \text { se } x<0 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em [-4,4]\) por
\[f(x)=\begin{cases} 1-\sqrt{x}, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] 1-\sqrt{-x}, & \text{se } x<0, \end{cases}
e pede: determinar os valores máximos e mínimos globais da função (ou seja, os maiores e menores valores que f\] atinge no intervalo \([-4,4] e em quais pontos isso ocorre).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Domínio considerado: [-4,4].
A função é dada por uma expressão com raiz quadrada tanto para x\ge 0 quanto para x<0.
Precisamos localizar possíveis extremos globais dentro do intervalo (incluindo pontos interiores e endpoints).]
Passo 2
Observação útil (para simplificar a intuição): para qualquer x temos \sqrt{-x}=\sqrt{|x|} quando x<0, e \sqrt{x}=\sqrt{|x|} quando x\ge0. Portanto globalmente, a função pode ser escrita de forma compacta como
f(x)=1-\sqrt{|x|}
para todo x\in[-4,4].
Explicando isso passo a passo: |x| é o valor absoluto de x. Se x\ge0, |x|=x e \sqrt{|x|}=\sqrt{x}. Se x<0, |x|=-x e \sqrt{|x|}=\sqrt{-x}. Então ambas as peças do enunciado coincidem com 1-\sqrt{|x|}. Essa forma é mais fácil de visualizar: \sqrt{|x|}\ge0 e cresce quando |x| aumenta, então f(x)=1-\sqrt{|x|} tende a diminuir quando |x| aumenta.
Passo 3
Raciocínio sobre continuidade e existência de extremos: a função \sqrt{|x|} é contínua em todo [-4,4], logo f(x)=1-\sqrt{|x|} é contínua em [-4,4]. Pelo teorema de Weierstrass (teorema da existência de extremos), uma função contínua em intervalo fechado atinge máximos e mínimos globais. Portanto devemos procurar:
pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) e
os extremos nos endpoints x=-4 e x=4.
Passo 4
Calcular a derivada em cada ramo (para identificar monotonicidade e pontos críticos interiores).
Para x>0 (ramo direito), f(x)=1-\sqrt{x}. Calcula-se a derivada por regras usuais:
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
logo
f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad\text{para }x>0.
Para x<0 (ramo esquerdo), f(x)=1-\sqrt{-x}. Use a regra da cadeia: se g(x)=\sqrt{-x} então g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}\cdot(-1)=-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}. Assim
Para x>0, f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0. Isso significa que f é estritamente decrescente em (0,4].
Para x<0, f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}>0. Isso significa que f é estritamente crescente em [-4,0).
Em x=0 a derivada não está definida (a expressão de f' tem \sqrt{x} no denominador em um ramo e \sqrt{-x} no outro), então x=0 é um ponto crítico (derivada inexistente).
Passo 5
Interpretação monotônica para localizar extremos:
Como f é crescente em [-4,0) e decrescente em (0,4], o ponto x=0 é um máximo local. Pela monotonicidade de ambos os lados, é na verdade o máximo global no intervalo, porque à medida que nos afastamos de 0 (para a esquerda ou direita) f diminui.
Os candidatos a mínimo global são os endpoints x=-4 e x=4 (e não há outros pontos interiores onde f'\!=\!0, só x=0 onde é máximo).
Passo 6
Avaliar f nos pontos candidatos (usar a expressão original/compacta f(x)=1-\sqrt{|x|}):
Calcular em x=0:
f(0)=1-\sqrt{|0|}=1-\sqrt{0}=1.
Calcular em x=4:
f(4)=1-\sqrt{|4|}=1-\sqrt{4}=1-2=-1.
Calcular em x=-4:
f(-4)=1-\sqrt{|-4|}=1-\sqrt{4}=1-2=-1.
Comparando: o maior valor obtido entre candidatos é 1 em x=0; o menor valor obtido é -1 em x=-4 e x=4.
Passo 7
Conclusão e dica rápida para a prova:
Resultado: máximo global em x=0 com valor 1; mínimos globais em x=-4 e x=4 com valor -1.
Dica prática para questões assim: reescreva de forma compacta se possível (aqui deu 1-\sqrt{|x|}), verifique continuidade no intervalo fechado (então extremos existem), calcule derivadas nos ramos, identifique monotonicidade e compare valores em pontos críticos e endpoints. Isso resolve rápido e de forma segura na prova. Força — tá indo bem!