Exercício 8. Seja f(t)=e^{-a t^{2}} e seja F(\omega)=\mathcal{F}(f)(\omega) a sua transformada de Fourier. Utilize o Teorema de Parseval para observar que \int|F(\omega)|^{2} d \omega=\frac{\sqrt{2 \pi^{3}}}{\sqrt{a}}. Calcule o desvio padrão temporal
D P T=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}|t f(t)|^{2} d t}{\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2} d t}
e o desvio padrão na frequência
D P F=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}|\omega F(\omega)|^{2} d \omega}{\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2} d \omega}
e mostre que vale a igualdade D P T \cdot D P F=\frac{1}{4}. Observe que essa igualdade é a identidade no Princípio da Incerteza. Use que para qualquer A>0 vale \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-A x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{4 \sqrt{A^{3}}}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • f(t)=e^{-a t^{2}} com a>0.
  • F(\omega)=\mathcal{F}(f)(\omega) é a transformada de Fourier de f sob a convenção
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
  • É fornecido que, por Parseval,
\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2}\,d\omega=\frac{\sqrt{2\pi^{3}}}{\sqrt{a}}.
  • Peçam-se os desvios padrão temporal e de frequência
DPT=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}|t f(t)|^{2}\,dt}{\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}\,dt}, \qquad DPF=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}|\omega F(\omega)|^{2}\,d\omega}{\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2}\,d\omega},
e mostrar que DPT\cdot DPF=\tfrac{1}{4}.
  • Dica útil fornecida: para qualquer A>0,
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-A x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{A^{3}}}.

Passo 2

Calcular o denominador temporal \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}\,dt.
Explicação rápida: a função é real e positiva, então |f(t)|^{2}=f(t)^{2}=e^{-2a t^{2}}. Usamos a integral gaussiana padrão
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\qquad(\alpha>0),
que se obtém pela substituição u=\sqrt{\alpha}\,x.
Aplicando com \alpha=2a,
\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2a t^{2}}\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}.

Passo 3

Calcular o numerador temporal \int_{-\infty}^{+\infty}|t f(t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} e^{-2a t^{2}}\,dt.
Usamos a simetria par: integral de -\infty a +\infty é o dobro da integral de 0 a +\infty. Com A=2a na fórmula dada,
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-A x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{A^{3}}}.
Portanto
\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} e^{-2a t^{2}}\,dt=2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{(2a)^{3}}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,(2a)^{3/2}}.
Simplificando a potência de 2:
\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2} e^{-2a t^{2}}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{5/2}\,a^{3/2}}.

Passo 4

Calcular DPT dividindo o numerador pelo denominador e simplificando cuidadosamente.
Temos numerador N_t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{5/2}\,a^{3/2}} e denominador D_t=\sqrt{\dfrac{\pi}{2a}}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{1/2} a^{1/2}}. Então
DPT=\frac{N_t}{D_t} =\frac{\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{5/2}\,a^{3/2}}}{\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{1/2}\,a^{1/2}}} =\frac{2^{1/2}\,a^{1/2}}{2^{5/2}\,a^{3/2}} =2^{-2} a^{-1}=\frac{1}{4a}.
Logo
DPT=\frac{1}{4a}.

Passo 5

Determinar explicitamente F(\omega) (isso ajuda a calcular os momentos em frequência).
Vamos calcular
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a t^{2}} e^{-i\omega t}\,dt.
Fazendo o quadrado completo no expoente: escrevemos
-a t^{2}-i\omega t=-a\!\left(t^{2}+\frac{i\omega}{a}t\right) =-a\!\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}-\frac{\omega^{2}}{4a}.
A integral sobre t desloca a variável complexamente, mas a contribuição do deslocamento não altera o valor da integral gaussiana padrão; portanto
F(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{\omega^{2}}{4a}}.
(A forma e o fator \sqrt{\pi/a} são o resultado padrão da integral gaussiana com termo linear.)

Passo 6

Calcular |F(\omega)|^{2} e verificar o denominador em frequência (conferindo o valor dado por Parseval).
Como F(\omega) é real positivo multiplicado por e^{-\omega^{2}/(4a)},
|F(\omega)|^{2}=\frac{\pi}{a}\,e^{-\frac{\omega^{2}}{2a}}.
Integrando em \omega,
\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2}\,d\omega=\frac{\pi}{a}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\omega^{2}}{2a}}\,d\omega =\frac{\pi}{a}\sqrt{2\pi a}=\frac{\sqrt{2\pi^{3}}}{\sqrt{a}},
o que coincide com o valor fornecido por Parseval.

Passo 7

Calcular o numerador em frequência \int_{-\infty}^{+\infty}\omega^{2}|F(\omega)|^{2}\,d\omega.
Usando |F(\omega)|^{2}=(\pi/a)e^{-\omega^{2}/(2a)},
\int_{-\infty}^{+\infty}\omega^{2}|F(\omega)|^{2}\,d\omega=\frac{\pi}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}\omega^{2} e^{-\frac{\omega^{2}}{2a}}\,d\omega.
Novamente a integral é par, então é 2 vezes a integral de 0 a \infty. Para a parte positiva use a fórmula dada com A=\dfrac{1}{2a}:
\int_{0}^{\infty}\omega^{2} e^{-\frac{\omega^{2}}{2a}}\,d\omega =\frac{\sqrt{\pi}}{4}\left(\frac{1}{2a}\right)^{-3/2} =\frac{\sqrt{\pi}}{4}\, (2a)^{3/2}.
Multiplicando por 2 e pelo fator \pi/a,
\int_{-\infty}^{+\infty}\omega^{2}|F(\omega)|^{2}\,d\omega =\frac{\pi}{a}\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{4}\,(2a)^{3/2} =\frac{\pi\sqrt{\pi}}{2a}\,(2a)^{3/2}.
Simplificando potências:
\int_{-\infty}^{+\infty}\omega^{2}|F(\omega)|^{2}\,d\omega =\pi\sqrt{\pi}\,\sqrt{2}\,\sqrt{a} =\sqrt{2\pi^{3}}\,\sqrt{a}.

Passo 8

Calcular DPF dividindo o numerador pela energia em frequência (denominador já conhecido).
Denominador em frequência é \dfrac{\sqrt{2\pi^{3}}}{\sqrt{a}}. Assim
DPF=\frac{\sqrt{2\pi^{3}}\,\sqrt{a}}{\dfrac{\sqrt{2\pi^{3}}}{\sqrt{a}}} =\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a.
Portanto
DPF=a.

Passo 9

Multiplicar DPT por DPF para verificar a identidade do Princípio da Incerteza.
Tínhamos DPT=\dfrac{1}{4a} e DPF=a. Então
DPT\cdot DPF=\frac{1}{4a}\cdot a=\frac{1}{4}.
Isso mostra exatamente a igualdade pedida, que é a forma (para gaussianas) da relação de incerteza.

Resposta

DPT=\dfrac{1}{4a}
DPF=a
DPT\cdot DPF=\dfrac{1}{4}

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