Exercício 8. Seja
e seja
a sua transformada de Fourier. Utilize o Teorema de Parseval para observar que
. Calcule o desvio padrão temporal
e o desvio padrão na frequência
e mostre que vale a igualdade
. Observe que essa igualdade é a identidade no Princípio da Incerteza. Use que para qualquer
vale
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
com . -
é a transformada de Fourier de sob a convenção
- É fornecido que, por Parseval,
- Peçam-se os desvios padrão temporal e de frequência
e mostrar que
.
- Dica útil fornecida: para qualquer
,
Passo 2
Calcular o denominador temporal
.
Explicação rápida: a função é real e positiva, então
. Usamos a integral gaussiana padrão
que se obtém pela substituição
.
Aplicando com
,
Passo 3
Calcular o numerador temporal
.
Usamos a simetria par: integral de
a
é o dobro da integral de
a
. Com
na fórmula dada,
Portanto
Simplificando a potência de
:
Passo 4
Calcular
dividindo o numerador pelo denominador e simplificando cuidadosamente.
Temos numerador
e denominador
. Então
Logo
Passo 5
Determinar explicitamente
(isso ajuda a calcular os momentos em frequência).
Vamos calcular
Fazendo o quadrado completo no expoente: escrevemos
A integral sobre
desloca a variável complexamente, mas a contribuição do deslocamento não altera o valor da integral gaussiana padrão; portanto
(A forma e o fator
são o resultado padrão da integral gaussiana com termo linear.)
Passo 6
Calcular
e verificar o denominador em frequência (conferindo o valor dado por Parseval).
Como
é real positivo multiplicado por
,
Integrando em
,
o que coincide com o valor fornecido por Parseval.
Passo 7
Calcular o numerador em frequência
.
Usando
,
Novamente a integral é par, então é
vezes a integral de
a
. Para a parte positiva use a fórmula dada com
:
Multiplicando por
e pelo fator
,
Simplificando potências:
Passo 8
Calcular
dividindo o numerador pela energia em frequência (denominador já conhecido).
Denominador em frequência é
. Assim
Portanto
Passo 9
Multiplicar
por
para verificar a identidade do Princípio da Incerteza.
Tínhamos
e
. Então
Isso mostra exatamente a igualdade pedida, que é a forma (para gaussianas) da relação de incerteza.