Exercício:
Considere a função
a) Calcule a derivada de
.
b) Encontre o ponto onde a derivada é zero.
c) Classifique esse ponto como máximo ou mínimo.
d) Esboce o gráfico da função, indicando:
- O vértice (máximo ou mínimo)
- As raízes da função (se existirem)
- O comportamento da função (cresce ou decresce)
Considere a função
a) Calcule a derivada de
b) Encontre o ponto onde a derivada é zero.
c) Classifique esse ponto como máximo ou mínimo.
d) Esboce o gráfico da função, indicando:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) derivada de ,
b) ponto onde a derivada é zero,
c) classificar esse ponto como máximo ou mínimo,
d) esboçar o gráfico indicando vértice, raízes e intervalos de crescimento/decrescimento.
O conteúdo envolve regras de derivação de polinômios, teste da segunda derivada e análise de parábola.
a) derivada de
b) ponto onde a derivada é zero,
c) classificar esse ponto como máximo ou mínimo,
d) esboçar o gráfico indicando vértice, raízes e intervalos de crescimento/decrescimento.
O conteúdo envolve regras de derivação de polinômios, teste da segunda derivada e análise de parábola.
Passo 2
Para achar a derivada usamos que
,
e
.
Logo
Logo
Passo 3
O ponto crítico vem de resolver
Passo 4
Para classificar calculamos a segunda derivada
Como
, o ponto em
é um máximo. Seu valor em
é
ou seja, o máximo está no ponto
.
Passo 5
Para achar as raízes, resolvemos
que equivale a
e
As raízes são
e
.
Passo 6
O sinal de
dá a monotonicidade:
- Se
, então , logo cresce em . - Se
, então , logo decresce em .
Passo 7
O esboço é uma parábola voltada para baixo (concavidade negativa), com:
- vértice em
, - interceptações em
e , - seta para cima até
e seta para baixo após .
Resposta
a)
b)
c) ponto de máximo em
d) parábola com concavidade para baixo, vértice em , raízes em
e
, cresce em
e decresce em
.
b)
c) ponto de máximo em
d) parábola com concavidade para baixo, vértice em