Exercício:
Considere a função f(x)=-x^2+6 x-5
a) Calcule a derivada de f(x).
b) Encontre o ponto onde a derivada é zero.
c) Classifique esse ponto como máximo ou mínimo.
d) Esboce o gráfico da função, indicando:
  • O vértice (máximo ou mínimo)
  • As raízes da função (se existirem)
  • O comportamento da função (cresce ou decresce)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^2 + 6x - 5
e pede:
a) derivada de f,
b) ponto onde a derivada é zero,
c) classificar esse ponto como máximo ou mínimo,
d) esboçar o gráfico indicando vértice, raízes e intervalos de crescimento/decrescimento.
O conteúdo envolve regras de derivação de polinômios, teste da segunda derivada e análise de parábola.

Passo 2

Para achar a derivada usamos que ddx(-x^2)=-2x, ddx(6x)=6 e ddx(-5)=0.
Logo
f'(x) = -2x + 6

Passo 3

O ponto crítico vem de resolver
f'(x)=0 Longrightarrow -2x + 6 = 0 Longrightarrow x = 3

Passo 4

Para classificar calculamos a segunda derivada
f''(x) = ddx(-2x+6) = -2
Como f''(x)=-2<0, o ponto em x=3 é um máximo. Seu valor em f é
f(3) = -(3)^2 + 6cdot3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4,
ou seja, o máximo está no ponto (3,4).

Passo 5

Para achar as raízes, resolvemos
f(x)=0 Longrightarrow -x^2 + 6x - 5 = 0
que equivale a
x^2 - 6x + 5 = 0, De<a = 36 - 20 = 16
e
x = 6 pm raiz162 = 6 pm 42 ;Longrightarrow; x=1 ou x=5
As raízes são (1,0) e (5,0).

Passo 6

O sinal de f'(x)=-2x+6 dá a monotonicidade:
  • Se x<3, então -2x+6>0, logo f cresce em (-infty,3).
  • Se x>3, então -2x+6<0, logo f decresce em (3,infty).

Passo 7

O esboço é uma parábola voltada para baixo (concavidade negativa), com:
  • vértice em (3,4),
  • interceptações em (1,0) e (5,0),
  • seta para cima até x=3 e seta para baixo após x=3.

Resposta

a) f'(x) = -2x + 6
b) x = 3
c) ponto de máximo em (3,4)
d) parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,4), raízes em (1,0) e (5,0), cresce em (-infty,3) e decresce em (3,infty).

Exercícios relacionados