Exercício 4 Considere a função f(x)=\cos (a x) quando -b<x<b e f(x)=0 caso contrário. Calcule a transformada de Fourier da função f. Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} \cos(ax),&-b<x<b,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á e pede a transformada de Fourier \displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx. Vamos usar a definição da transformada de Fourier e a representação exponencial de \cos(ax). Passo 2Pela definição, como f(x)=0 fora de [-b,b], temos F(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx =\int_{-b}^{b}\cos(ax)\,e^{-i\omega x}dx. Passo 3Usamos \cos(ax)=\tfrac12\bigl(e^{i a x}+e^{-i a x}\bigr) para dividir a integral em duas partes: F(\omega) =\tfrac12\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega -a)x}dx +\tfrac12\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega +a)x}dx. Passo 4Recordando que, para k\neq0, \int_{-b}^{b}e^{-i k x}dx =2\,\frac{\sin(kb)}{k}, aplicamos com k=\omega -a e k=\omega +a. Assim F(\omega) =\tfrac12\Bigl[2\,\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +2\,\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}\Bigr]. Passo 5Simplificando o fator \tfrac12\cdot2 em cada termo, obtemos a forma final F(\omega) =\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}. Resposta F(\omega) =\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 3 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua com transformada de Fourier \hat{f}(w). Seja \int_{0}^{x} f(t) d t é tal que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}|g(x)|=0, então \mathcal{F}(g)(w)=\frac{\hat{f}(w)}{i w} \text { para } w \neq 0 . Exercício 1 Seja a uma constante não nula. Se a transformada de Fourier da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é \hat{f}(w) então a transformada de Fourier da função g(x)=f(x) é dada por \hat{g}(w)=\frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{w}{a}\right) para w \in \mathbb{R}. Exercício 7 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis (P) \quad\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ u(x, 0)=0, \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=g(x), 0<x<L \\\ u(0, t)=0, u(L, t)=0 .\end{array}\right. Exercício 8 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ u(x, 0)=0, \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=g(x), 0<x<L \\\ u(0, t)=0, u(L, t)=0 \end{array}\right.