Exercício 4 Considere a função f(x)=\cos (a x) quando -b<x<b e f(x)=0 caso contrário. Calcule a transformada de Fourier da função f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \cos(ax),&-b<x<b,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede a transformada de Fourier
\displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx.
Vamos usar a definição da transformada de Fourier e a representação exponencial de \cos(ax).

Passo 2

Pela definição, como f(x)=0 fora de [-b,b], temos
F(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx =\int_{-b}^{b}\cos(ax)\,e^{-i\omega x}dx.

Passo 3

Usamos
\cos(ax)=\tfrac12\bigl(e^{i a x}+e^{-i a x}\bigr)
para dividir a integral em duas partes:
F(\omega) =\tfrac12\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega -a)x}dx +\tfrac12\int_{-b}^{b}e^{-i(\omega +a)x}dx.

Passo 4

Recordando que, para k\neq0,
\int_{-b}^{b}e^{-i k x}dx =2\,\frac{\sin(kb)}{k},
aplicamos com k=\omega -a e k=\omega +a. Assim
F(\omega) =\tfrac12\Bigl[2\,\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +2\,\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}\Bigr].

Passo 5

Simplificando o fator \tfrac12\cdot2 em cada termo, obtemos a forma final
F(\omega) =\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}.

Resposta

F(\omega) =\frac{\sin\bigl((\omega -a)b\bigr)}{\omega -a} +\frac{\sin\bigl((\omega +a)b\bigr)}{\omega +a}.

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