Exercício 1 Seja a uma constante não nula. Se a transformada de Fourier da função
é
então a transformada de Fourier da função
é dada por
para
.
Passo 1
No enunciado temos uma função
cuja transformada de Fourier é denotada por
. Definimos então
com
. O objetivo é usar a definição de transformada de Fourier para mostrar que
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Fourier de
, temos
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Quando
percorre
,
também percorre
, e o integrando fica
Passo 4
Substituindo na integral de
, obtemos
Para compensar o possível sinal de
na troca de limites, usamos
e note que a integral em
sobre todo
é invariante sob trocar os limites quando mudamos o sinal de
. Logo ficamos com