Exercício 1 Seja a uma constante não nula. Se a transformada de Fourier da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é \hat{f}(w) então a transformada de Fourier da função g(x)=f(x) é dada por \hat{g}(w)=\frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{w}{a}\right) para w \in \mathbb{R}.

Passo 1

No enunciado temos uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja transformada de Fourier é denotada por \hat f(w). Definimos então
g(x)=f(a\,x),
com a\neq0. O objetivo é usar a definição de transformada de Fourier para mostrar que
\hat g(w) =\frac{1}{\lvert a\rvert}\,\hat f\!\Bigl(\tfrac{w}{a}\Bigr).

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Fourier de g, temos
\hat g(w) =\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-i\,w\,x}\,\mathrm{d}x =\int_{-\infty}^{\infty}f(a\,x)\,e^{-i\,w\,x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = a\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u}{a}, \quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{a}.
Quando x percorre (-\infty,\infty), u também percorre (-\infty,\infty), e o integrando fica
f(a\,x)\,e^{-i\,w\,x}\,\mathrm{d}x = f(u)\,\exp\!\Bigl(-i\,w\,\frac{u}{a}\Bigr)\,\frac{\mathrm{d}u}{a}.

Passo 4

Substituindo na integral de \hat g(w), obtemos
\hat g(w) =\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,\exp\!\Bigl(-i\,(w/a)\,u\Bigr)\,\frac{\mathrm{d}u}{a} =\frac{1}{a}\,\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,e^{-i\,(w/a)\,u}\,\mathrm{d}u.
Para compensar o possível sinal de a na troca de limites, usamos \tfrac{1}{a}=\tfrac{\mathrm{sgn}(a)}{\lvert a\rvert} e note que a integral em u sobre todo \mathbb{R} é invariante sob trocar os limites quando mudamos o sinal de u. Logo ficamos com
\hat g(w) =\frac{1}{\lvert a\rvert} \int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,e^{-i\,(w/a)\,u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{\lvert a\rvert}\,\hat f\!\Bigl(\tfrac{w}{a}\Bigr).

Resposta

\hat g(w) =\frac{1}{\lvert a\rvert}\,\hat f\!\Bigl(\tfrac{w}{a}\Bigr).

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