Exercício 3 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua com transformada de Fourier \hat{f}(w). Seja \int_{0}^{x} f(t) d t é tal que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}|g(x)|=0, então
\mathcal{F}(g)(w)=\frac{\hat{f}(w)}{i w} \text { para } w \neq 0 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função contínua f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com transformada de Fourier \hat f(w). Definimos
g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt
e sabemos que \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0. O objetivo é mostrar que, para w\neq0,
\mathcal{F}(g)(w)=\frac{\hat f(w)}{i\,w}.

Passo 2

Começamos da definição da transformada de Fourier de g:
\mathcal{F}(g)(w) =\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-i\,w\,x}\,dx.
Para avaliar esse integral, vamos usar integração por partes. Escolhemos
u=g(x), \quad dv=e^{-i\,w\,x}\,dx.
Então
du=f(x)\,dx, \quad v=\int e^{-i\,w\,x}\,dx =\frac{e^{-i\,w\,x}}{-i\,w} =\,-\frac{1}{i\,w}\,e^{-i\,w\,x}.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-i\,w\,x}\,dx =\Bigl[g(x)\,\Bigl(-\frac{1}{i\,w}e^{-i\,w\,x}\Bigr)\Bigr]_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{i\,w}e^{-i\,w\,x}\Bigr)\,f(x)\,dx.

Passo 4

Pelo enunciado, \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0 e e^{-i\,w\,x} é limitado, então o termo de fronteira vale zero. Logo
\mathcal{F}(g)(w) =\frac{1}{i\,w}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-i\,w\,x}\,dx =\frac{1}{i\,w}\,\hat f(w).

Resposta

\mathcal{F}(g)(w)=\frac{\hat f(w)}{i\,w},\quad w\neq0.

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