Exercício 8 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação da onda
para
, sujeita às condições iniciais
e às condições de contorno homogêneas
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de Fourier em senos.
Passo 2
Assumimos solução da forma
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
Do lado espacial temos o problema de autovalores
As soluções não-triviais surgem para
com autofunções
Passo 4
Do lado temporal surge a ODE
cuja solução geral é
onde
Passo 5
Pela linearidade, a solução geral é
Passo 6
Impondo
vem
Impondo
dá
ou seja,
expandido em série de senos. Os coeficientes são