Exercício 8 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ u(x, 0)=0, \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=g(x), 0<x<L \\\ u(0, t)=0, u(L, t)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = k\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
para 0<x<L, sujeita às condições iniciais
u(x,0)=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x),
e às condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0.
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de Fourier em senos.

Passo 2

Assumimos solução da forma
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por k\,X\,T obtemos
\frac{1}{k}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

Do lado espacial temos o problema de autovalores
X''(x) + \lambda\,X(x)=0,\quad X(0)=0,\quad X(L)=0.
As soluções não-triviais surgem para
\lambda_n = \Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots,
com autofunções
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).

Passo 4

Do lado temporal surge a ODE
T''(t) + k\,\lambda_n\,T(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t),
onde
\omega_n = \sqrt{k\,\lambda_n}=\frac{n\pi\sqrt{k}}{L}.

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr]\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).

Passo 6

Impondo u(x,0)=0 vem
\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad A_n=0.
Impondo \partial_tu(x,0)=g(x)
\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\omega_n\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)=g(x),
ou seja, g(x) expandido em série de senos. Os coeficientes são
B_n =\frac{2}{L\,\omega_n} \int_{0}^{L}g(\xi)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi \xi}{L}\Bigr)\,d\xi.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \biggl[ \frac{2}{L\,\omega_n} \int_{0}^{L}g(\xi)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi \xi}{L}\Bigr)\,d\xi \biggr]\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,\sin(\omega_n t), \quad \omega_n=\frac{n\pi\sqrt{k}}{L}.

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