Determine uma parametrização para as superfícies dadas.
O plano que passa pela origem que contém os vetores (1,-1,0) e (0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização para o plano em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e contém os vetores
\,(1,-1,0) e (0,1,-1).
Este é um exercício de parametrização de superfícies: sabemos que um plano que passa pela origem e contém dois vetores linearmente independentes \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 pode ser descrito como
\mathbf{r}(u,v)=u\,\mathbf{v}_1+v\,\mathbf{v}_2,
com (u,v)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Verificamos rapidamente que \mathbf{v}_1=(1,-1,0) e \mathbf{v}_2=(0,1,-1) não são múltiplos um do outro, logo são independentes e realmente geram um plano de dimensão 2.

Passo 3

Usando \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2, definimos
\mathbf{r}(u,v)=u\,(1,-1,0)+v\,(0,1,-1).
Agora basta expandir componente a componente:

Passo 4

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\,-u+v,\,-v\bigr),
com (u,v)\in\mathbb{R}^2. Essa expressão cobre todo o plano desejado.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\,-u+v,\,-v\bigr), \quad (u,v)\in\mathbb{R}^2.

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