Exercício 1. Considere a parametrização (x, y)=(t^2-3 t, t-1), com t in R.
(a) Determine a equação cartesiana da curva. ( 1,25 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parametrização dada por (x, y) = (t^2 - 3t, t - 1), onde t é um número real. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa curva, ou seja, uma relação direta entre x e y sem o parâmetro t. Para isso, vamos precisar manipular as equações que relacionam x e y com t e eliminar o t para conseguir expressar x em termos de y ou vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que relaciona y com t:
y = t - 1
Nosso objetivo é isolar o t nessa equação para poder substituir na equação de x. Então, vamos resolver para t:
t = y + 1

Passo 3

Agora que temos t em termos de y, vamos substituir esse valor na equação que relaciona x com t:
x = t^2 - 3t
Substituindo t por y + 1:
x = (y + 1)^2 - 3(y + 1)
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
x = y^2 + 2y + 1 - 3y - 3
x = y^2 - y - 2

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
x = y^2 - y - 2

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