Exercício 6. Considere a função periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\[f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1 / 2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}
Calcule a transformada de Fourier de (f] como uma soma de deltas de Dirac.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1/2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}
e pede: calcular a transformada de Fourier de (f] como uma soma de deltas de Dirac.
Observações e escolha de convenções (essenciais para continuar sem pedir esclarecimento):
O enunciado parece ter um pequeno desajuste tipográfico comum em exercícios clássicos: a definição f(t)=t em (0,1) e f(0)=1/2 é exatamente a forma padrão do “sawtooth” periódico de período 1 (onde o valor em 0 é a média dos limites laterais, 1/2). Por isso vou assumir a forma clássica com período T=1, i.e. assumir que a periodicidade é f(t+1)=f(t). Esse é o caso padrão onde a resposta fica bonita em deltas nos harmónicos 2\pi k. Se a intenção fosse outra periodização, o procedimento abaixo se adapta trocando T por 2.
Pergunta final que vou responder: escrever \widehat f(\omega) como combinação (soma) de deltas de Dirac.
Passo 2
Lema prático (explicado curto): se f é T-periódica e integrável por periodo, ela tem série de Fourier complexa
Comentário didático: essa identidade diz que a transformada de uma função periódica é uma linha de deltas localizados nas frequências harmónicas \omega=\tfrac{2\pi k}{T}, com massas proporcionais aos coeficientes da série de Fourier. Vou aplicar isso com T=1.
Passo 3
Com T=1 temos \omega_k=2\pi k e
c_k=\int_{0}^{1} f(t)\,e^{-i2\pi k t}\,dt.
Como f(t)=t em (0,1) (valores em pontos isolados não alteram integrais), podemos calcular c_k explicitamente.
Interpretação rápida: massa \pi no zero (componente média 1/2) e nas frequências harmônicas 2\pi k a massa complexa \dfrac{i}{k}. Essa expressão é uma distribuição (combinação linear de deltas); os coeficientes complexos codificam as fases dos harmónicos.