Exercício 6. Considere a função periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \[f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1 / 2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}
Calcule a transformada de Fourier de (f] como uma soma de deltas de Dirac.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1/2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}
e pede: calcular a transformada de Fourier de (f] como uma soma de deltas de Dirac.
Observações e escolha de convenções (essenciais para continuar sem pedir esclarecimento):
  • Vou usar a convenção da transformada de Fourier
\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
  • O enunciado parece ter um pequeno desajuste tipográfico comum em exercícios clássicos: a definição f(t)=t em (0,1) e f(0)=1/2 é exatamente a forma padrão do “sawtooth” periódico de período 1 (onde o valor em 0 é a média dos limites laterais, 1/2). Por isso vou assumir a forma clássica com período T=1, i.e. assumir que a periodicidade é f(t+1)=f(t). Esse é o caso padrão onde a resposta fica bonita em deltas nos harmónicos 2\pi k. Se a intenção fosse outra periodização, o procedimento abaixo se adapta trocando T por 2.
Pergunta final que vou responder: escrever \widehat f(\omega) como combinação (soma) de deltas de Dirac.

Passo 2

Lema prático (explicado curto): se f é T-periódica e integrável por periodo, ela tem série de Fourier complexa
f(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k e^{i\frac{2\pi k}{T}t},
onde os coeficientes são
c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\,e^{-i\frac{2\pi k}{T}t}\,dt.
Aplicando a transformada de Fourier termo a termo (no sentido de distribuições), usa-se
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\frac{2\pi k}{T}t} e^{-i\omega t}\,dt = 2\pi\,\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right).
Assim obtemos a fórmula geral (identidade de distribuição)
\widehat f(\omega)=2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k\,\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right).
Comentário didático: essa identidade diz que a transformada de uma função periódica é uma linha de deltas localizados nas frequências harmónicas \omega=\tfrac{2\pi k}{T}, com massas proporcionais aos coeficientes da série de Fourier. Vou aplicar isso com T=1.

Passo 3

Com T=1 temos \omega_k=2\pi k e
c_k=\int_{0}^{1} f(t)\,e^{-i2\pi k t}\,dt.
Como f(t)=t em (0,1) (valores em pontos isolados não alteram integrais), podemos calcular c_k explicitamente.
Primeiro o coeficiente de ordem zero:
c_0=\int_{0}^{1} t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_0^1=\frac{1}{2}.
Agora para k\neq 0. Calcular
c_k=\int_{0}^{1} t\,e^{-i2\pi k t}\,dt.
Usamos integração por partes: tome u=t e dv=e^{-i2\pi k t}dt. Então du=dt e v=\frac{e^{-i2\pi k t}}{-i2\pi k}. Assim
\begin{aligned} c_k &= \left. t\cdot\frac{e^{-i2\pi k t}}{-i2\pi k}\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1\cdot\frac{e^{-i2\pi k t}}{-i2\pi k}\,dt \\\ &= \frac{1\cdot e^{-i2\pi k}-0}{-i2\pi k} - \frac{1}{-i2\pi k}\int_{0}^{1} e^{-i2\pi k t}\,dt. \end{aligned}
Agora e^{-i2\pi k}=1 para todo k\in\mathbb{Z}, e também
\int_{0}^{1} e^{-i2\pi k t}\,dt = \left.\frac{e^{-i2\pi k t}}{-i2\pi k}\right|_0^1 = \frac{1-1}{-i2\pi k}=0.
Portanto o segundo termo anula-se e sobra apenas
c_k = \frac{1}{-i2\pi k} = \frac{i}{2\pi k}\qquad (k\neq 0).
Resumo dos coeficientes:
c_0=\frac{1}{2},\qquad c_k=\frac{i}{2\pi k}\\ \text{ para }k\neq 0.

Passo 4

Voltando à fórmula da transformada para T=1:
\widehat f(\omega)=2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k\,\delta(\omega-2\pi k).
Substituindo os c_k:
\widehat f(\omega)=2\pi\cdot\frac{1}{2}\,\delta(\omega) + 2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} \frac{i}{2\pi k}\,\delta(\omega-2\pi k).
Simplificando fatores 2\pi:
\widehat f(\omega)=\pi\,\delta(\omega) + \sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} \frac{i}{k}\,\delta(\omega-2\pi k).
Interpretação rápida: massa \pi no zero (componente média 1/2) e nas frequências harmônicas 2\pi k a massa complexa \dfrac{i}{k}. Essa expressão é uma distribuição (combinação linear de deltas); os coeficientes complexos codificam as fases dos harmónicos.

Resposta

\displaystyle \widehat f(\omega)=\pi\,\delta(\omega)+\sum_{k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\frac{i}{k}\,\delta(\omega-2\pi k)

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