Questão ( 50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente, com justificativa.\n
Observação importante (peguei isso do próprio enunciado): para o termo
não está definido porque
. Portanto a soma só faz sentido a partir de
. Vou, assim, trabalhar com a série
Observação importante (peguei isso do próprio enunciado): para
As perguntas são: a série (alternada) converge? e a série dos valores absolutos converge (ou seja, a convergência é absoluta)?
Passo 2
Definir a sequência de termos positivos que aparece na alternância e verificar suas propriedades essenciais.\n
Defina
Defina
Vou mostrar duas coisas que serão úteis no teste de Leibniz (teste da série alternada): (i)
para
, (ii)
é decrescente em
para
, e (iii)
.\n
- Positividade: para
tem-se e , logo .\n - Monotonicidade (decrescência): considere a função contínua
Calcule a derivada (aqui mostro passo a passo): escrevendo
e usando regra da cadeia e do produto obtém-se
Para
temos
, logo
, e assim
. Portanto
é estritamente decrescente em
. Daí a sequência
é decrescente para
.\n
- Limite nulo: como
temos , segue que
(Em palavras: o denominador cresce sem limite, então o recíproco vai a zero.)
Passo 3
Enunciar o teste que vamos aplicar (e por que ele serve).\n
Teste de Leibniz (série alternada): se é uma sequência positiva, decrescente e com
, então a série alternada
Teste de Leibniz (série alternada): se
converge. Além disso, os somatórios parciais ficam presos entre duas somas consecutivas e o erro ao truncar é menor que o primeiro termo omitido. Intuição rápida: os termos vão alternando sinal e em módulo vão ficando cada vez menores, o que “cancela” progresso da soma e garante convergência.\n
Aplicando ao nosso caso: já verificamos que é positiva, decrescente e tende a
. Portanto, pela condição de Leibniz, a série alternada
Aplicando ao nosso caso: já verificamos que
converge.
Passo 4
Verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional.\n
Para testar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
Para testar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
Usarei o teste da integral, que pede uma função
positiva, contínua e decrescente tal que
. Já temos
com essas propriedades em
. O teste da integral diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.\n
Calcule a integral (mostrando o passo): para ,
Calcule a integral (mostrando o passo): para
Fazendo
obtemos
, logo a integral diverge. Pelo teste da integral, a série
diverge. Assim a série dos módulos diverge — isto é, a convergência da série alternada NÃO é absoluta.
Passo 5
Conclusão final e comentário didático.\n
- A série alternada converge por Leibniz porque os módulos dos termos formam uma sequência positiva, decrescente e com limite zero.\n
- Porém a série não converge absolutamente, pois
diverge (teste da integral).\n
Portanto a convergência é condicional. Se estiver nervoso na prova: mostre rapidamente que(derivada negativa) e cite Leibniz; depois para a parte absoluta use a integral de que dá e diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).