3{ }^{\text {a }} Questão ( 50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln(n)}
é convergente ou divergente, com justificativa.\n
Observação importante (peguei isso do próprio enunciado): para n=1 o termo \dfrac{1}{n\ln(n)} não está definido porque \ln(1)=0. Portanto a soma só faz sentido a partir de n=2. Vou, assim, trabalhar com a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln(n)}.
As perguntas são: a série (alternada) converge? e a série dos valores absolutos converge (ou seja, a convergência é absoluta)?

Passo 2

Definir a sequência de termos positivos que aparece na alternância e verificar suas propriedades essenciais.\n
Defina
a_n=\frac{1}{n\ln(n)},\qquad n\ge2.
Vou mostrar duas coisas que serão úteis no teste de Leibniz (teste da série alternada): (i) a_n>0 para n\ge2, (ii) a_n é decrescente em n para n\ge2, e (iii) \lim_{n\to\infty}a_n=0.\n
  • Positividade: para n\ge2 tem-se \ln(n)>0 e n>0, logo a_n>0.\n
  • Monotonicidade (decrescência): considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge2.
Calcule a derivada (aqui mostro passo a passo): escrevendo f(x)=(x\ln x)^{-1} e usando regra da cadeia e do produto obtém-se
f'(x)=-\frac{\ln x +1}{x^{2}(\ln x)^{2}}.
Para x\ge2 temos \ln x>0, logo \ln x+1>0, e assim f'(x)<0. Portanto f é estritamente decrescente em [2,\infty). Daí a sequência a_n=f(n) é decrescente para n\ge2.\n
  • Limite nulo: como n\to\infty temos n\ln n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0.
(Em palavras: o denominador cresce sem limite, então o recíproco vai a zero.)

Passo 3

Enunciar o teste que vamos aplicar (e por que ele serve).\n
Teste de Leibniz (série alternada): se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternada
\sum_{n}(-1)^{n}a_n
converge. Além disso, os somatórios parciais ficam presos entre duas somas consecutivas e o erro ao truncar é menor que o primeiro termo omitido. Intuição rápida: os termos vão alternando sinal e em módulo vão ficando cada vez menores, o que “cancela” progresso da soma e garante convergência.\n
Aplicando ao nosso caso: já verificamos que a_n=\dfrac{1}{n\ln n} é positiva, decrescente e tende a 0. Portanto, pela condição de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln n}
converge.

Passo 4

Verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional.\n
Para testar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}.
Usarei o teste da integral, que pede uma função g(x) positiva, contínua e decrescente tal que g(n)=1/(n\ln n). Já temos g(x)=1/(x\ln x) com essas propriedades em [2,\infty). O teste da integral diz que a série \sum g(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{2}^{\infty}g(x)\,dx converge.\n
Calcule a integral (mostrando o passo): para t>2,
\int_{2}^{t}\frac{dx}{x\ln x}=\left.\ln(\ln x)\right|_{2}^{t}=\ln(\ln t)-\ln(\ln 2).
Fazendo t\to\infty obtemos \ln(\ln t)\to\infty, logo a integral diverge. Pelo teste da integral, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
diverge. Assim a série dos módulos diverge — isto é, a convergência da série alternada NÃO é absoluta.

Passo 5

Conclusão final e comentário didático.\n
  • A série alternada converge por Leibniz porque os módulos dos termos formam uma sequência positiva, decrescente e com limite zero.\n
  • Porém a série não converge absolutamente, pois \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n} diverge (teste da integral).\n
    Portanto a convergência é condicional. Se estiver nervoso na prova: mostre rapidamente que \dfrac{1}{n\ln n}\searrow0 (derivada negativa) e cite Leibniz; depois para a parte absoluta use a integral de 1/(x\ln x) que dá \ln(\ln x) e diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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