Calcule as
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{4}\left(x y^{3}-2 x^{2}+1\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{4}\left(xy^{3}-2x^{2}+1\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x,y)=xy^{3}-2x^{2}+1.
  • A integração interna é em x com limites 0 a 4.
  • A integração externa é em y com limites -1 a 1.
    O que se pede: computar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia e justificativa (fórmula usada).
  • Como f(x,y) é um polinômio em x e y, é contínua no retângulo de integração; portanto vale o Teorema de Fubini e podemos integrar iterativamente: primeiro em x, depois em y.
  • Usarei a linearidade da integral para separar termos e a regra de potência para primitives: a primitiva de x^{n} em x é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{4}\left(xy^{3}-2x^{2}+1\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
  • Para \int_{0}^{4}xy^{3}\,dx: aqui y^{3} é constante em relação a x, logo
\int_{0}^{4}xy^{3}\,dx = y^{3}\int_{0}^{4}x\,dx = y^{3}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = y^{3}\cdot\frac{4^{2}}{2}=8y^{3}.
  • Para \int_{0}^{4}-2x^{2}\,dx:
\int_{0}^{4}-2x^{2}\,dx = -2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = -2\cdot\frac{4^{3}}{3} = -\frac{128}{3}.
  • Para \int_{0}^{4}1\,dx:
\int_{0}^{4}1\,dx = [x]_{0}^{4} = 4.
Somando os três resultados obtém-se a integral interna como função de y:
\int_{0}^{4}\left(xy^{3}-2x^{2}+1\right)\,dx = 8y^{3}-\frac{128}{3}+4.
Simplificando a parte constante:
-\frac{128}{3}+4 = -\frac{128}{3}+\frac{12}{3} = -\frac{116}{3},
portanto a expressão é
8y^{3}-\frac{116}{3}.

Passo 4

Agora integrar em y de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\left(8y^{3}-\frac{116}{3}\right)\,dy.
Separe em duas integrais:
\int_{-1}^{1}8y^{3}\,dy \;-\; \int_{-1}^{1}\frac{116}{3}\,dy.
  • Observação importante (paridade): a função y^{3} é ímpar, logo 8y^{3} é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] vale 0. Assim
\int_{-1}^{1}8y^{3}\,dy = 0.
  • Para a parte constante:
\int_{-1}^{1}\frac{116}{3}\,dy = \frac{116}{3}\cdot\left[ y \right]_{-1}^{1} = \frac{116}{3}\cdot(1-(-1)) = \frac{116}{3}\cdot 2 = \frac{232}{3}.
Como essa parte aparece subtraída no integrando original, o resultado total é
0 - \frac{232}{3} = -\frac{232}{3}.

Resposta

-\dfrac{232}{3}

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