Calcule as
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A integração interna é em
com limites a . - A integração externa é em
com limites a .
O que se pede: computar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Estratégia e justificativa (fórmula usada).
- Como
é um polinômio em e , é contínua no retângulo de integração; portanto vale o Teorema de Fubini e podemos integrar iterativamente: primeiro em , depois em . - Usarei a linearidade da integral para separar termos e a regra de potência para primitives: a primitiva de
em é .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Integramos termo a termo:
- Para
: aqui é constante em relação a , logo
- Para
:
- Para
:
Somando os três resultados obtém-se a integral interna como função de
:
Simplificando a parte constante:
portanto a expressão é
Passo 4
Agora integrar em
de
a
:
Separe em duas integrais:
- Observação importante (paridade): a função
é ímpar, logo é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico vale . Assim
- Para a parte constante:
Como essa parte aparece subtraída no integrando original, o resultado total é