Questão 1: (3 pts) É Dado, na tabela, os valores de uma função
definida em
4
4,5
5
5,5
6
0
-3
-5
-6
-4
-1
1
-1
-2
-3
-1
1
2
1
0
-1
1
4
3
2
2
1
3
-7
4
3
4
2
5
9
Estime o valor de
com
e
utilizando como pontos de amostra os mais proximo da origem.
|
|
4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 |
| 0 | -3 | -5 | -6 | -4 | -1 |
| 1 | -1 | -2 | -3 | -1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | -7 |
| 4 | 3 | 4 | 2 | 5 | 9 |
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
- O enunciado pede: estimar
com e usando como pontos de amostra os mais próximos da origem. - A região é
. - A subdivisão pedida tem
subintervalos em e subintervalos em . - A tabela fornecida dá valores de
nos pontos da grade com e .
(Peguei os valores dediretamente da tabela fornecida.)
Passo 2
Conceito usado: aproximação da integral dupla por soma de Riemann.
- Para uma partição em retângulos, a aproximação por soma de Riemann é
onde
é a área de cada subretângulo e
é o ponto de amostra no subretângulo
.
- Neste problema,
e . Vamos calcular.
Passo 3
Calcular os tamanhos dos subintervalos e identificar os subretângulos.
-
-
- Logo
Os subintervalos em
são
.
Os subintervalos em são
e
.
Os subintervalos em
Regra de amostragem: “pontos mais próximos da origem” significa, dentro de cada subretângulo, escolher o ponto (do interior ou das fronteiras) que fica geometricamente mais próximo da origem
. Como a região tem
e
, o ponto mais próximo da origem em cada subretângulo é o canto com menor
e menor
— ou seja, o canto inferior-esquerdo de cada subretângulo. Assim, os pontos de amostra serão os cantos com coordenadas
.
Passo 4
Listar explicitamente os pontos de amostra escolhidos e pegar seus valores na tabela (peguei esses valores da tabela dada).
Para os subretângulos com
(linha inferior de subretângulos), os pontos de amostra são:
-
com . -
com . -
com . -
com .
Para os subretângulos com
(linha superior de subretângulos), os pontos de amostra são:
-
com . -
com . -
com . -
com .
(Repito: todos os valores acima foram retirados da tabela fornecida.)
Passo 5
Montar a soma de Riemann com
.
Agora somo os valores que identifiquei:
- Soma da linha
: - Soma da linha
:
Passo 6
Somar as duas linhas para obter a aproximação final:
Portanto a estimativa de
usando
,
e os pontos de amostra mais próximos da origem é
.
Dica rápida para a prova: sempre calcule
e
primeiro, desenhe mentalmente (ou rapidamente no rascunho) os subretângulos e identifique se “mais próximo da origem” corresponde ao canto inferior-esquerdo (ou outro canto, conforme a posição da região). Em seguida use os valores da tabela ponto a ponto e some — muitas vezes
simplifica a conta.