Questão 1: (3 pts) É Dado, na tabela, os valores de uma função f(x, y) definida em R=[0,4] x[4,6]
x 4 4,5 5 5,5 6
0 -3 -5 -6 -4 -1
1 -1 -2 -3 -1 1
2 1 0 -1 1 4
3 2 2 1 3 -7
4 3 4 2 5 9
Estime o valor de \iint_{R} f(x, y) d A com m=4 e n=2 utilizando como pontos de amostra os mais proximo da origem.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
  • O enunciado pede: estimar \iint_{R} f(x,y)\,dA com m=4 e n=2 usando como pontos de amostra os mais próximos da origem.
  • A região é R=[0,4]\times[4,6].
  • A subdivisão pedida tem m=4 subintervalos em x e n=2 subintervalos em y.
  • A tabela fornecida dá valores de f(x,y) nos pontos da grade com x\in\{0,1,2,3,4\} e y\in\{4,4{,}5,5,5{,}5,6\}.
    (Peguei os valores de f diretamente da tabela fornecida.)

Passo 2

Conceito usado: aproximação da integral dupla por soma de Riemann.
  • Para uma partição em retângulos, a aproximação por soma de Riemann é
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A,
onde \Delta A=\Delta x\cdot\Delta y é a área de cada subretângulo e (x_{ij}^*,y_{ij}^*) é o ponto de amostra no subretângulo (i,j).
  • Neste problema, \Delta x=\dfrac{4-0}{m} e \Delta y=\dfrac{6-4}{n}. Vamos calcular.

Passo 3

Calcular os tamanhos dos subintervalos e identificar os subretângulos.
  • \displaystyle \Delta x=\frac{4-0}{4}=1.
  • \displaystyle \Delta y=\frac{6-4}{2}=1.
  • Logo \Delta A=\Delta x\cdot\Delta y=1\cdot1=1.
Os subintervalos em x são [0,1],[1,2],[2,3],[3,4].
Os subintervalos em y são [4,5] e [5,6].
Regra de amostragem: “pontos mais próximos da origem” significa, dentro de cada subretângulo, escolher o ponto (do interior ou das fronteiras) que fica geometricamente mais próximo da origem (0,0). Como a região tem x\ge0 e y\ge4, o ponto mais próximo da origem em cada subretângulo é o canto com menor x e menor y — ou seja, o canto inferior-esquerdo de cada subretângulo. Assim, os pontos de amostra serão os cantos com coordenadas (x_{i-1},y_{j-1}).

Passo 4

Listar explicitamente os pontos de amostra escolhidos e pegar seus valores na tabela (peguei esses valores da tabela dada).
Para os subretângulos com y\in[4,5] (linha inferior de subretângulos), os pontos de amostra são:
  • (0,4) com f(0,4) = -3.
  • (1,4) com f(1,4) = -1.
  • (2,4) com f(2,4) = 1.
  • (3,4) com f(3,4) = 2.
Para os subretângulos com y\in[5,6] (linha superior de subretângulos), os pontos de amostra são:
  • (0,5) com f(0,5) = -6.
  • (1,5) com f(1,5) = -3.
  • (2,5) com f(2,5) = -1.
  • (3,5) com f(3,5) = 1.
(Repito: todos os valores acima foram retirados da tabela fornecida.)

Passo 5

Montar a soma de Riemann com \Delta A=1.
\text{Aproximação}=\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{2} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A =\sum_{\text{os 8 pontos}} f(x,y)\cdot 1.çã
Agora somo os valores que identifiquei:
  • Soma da linha y\in[4,5]: (-3)+(-1)+1+2 = -1.
  • Soma da linha y\in[5,6]: (-6)+(-3)+(-1)+1 = -9.

Passo 6

Somar as duas linhas para obter a aproximação final:
-1 + (-9) = -10.
Portanto a estimativa de \iint_{R} f(x,y)\,dA usando m=4, n=2 e os pontos de amostra mais próximos da origem é -10.
Dica rápida para a prova: sempre calcule \Delta x e \Delta y primeiro, desenhe mentalmente (ou rapidamente no rascunho) os subretângulos e identifique se “mais próximo da origem” corresponde ao canto inferior-esquerdo (ou outro canto, conforme a posição da região). Em seguida use os valores da tabela ponto a ponto e some — muitas vezes \Delta A simplifica a conta.

Resposta

-10

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