Exercício 2. Considere
. Construa as curvas de nível para os valores
e
em um mapa de contorno.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu construa as curvas de nível (mapa de contorno) para os valores
.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função:
.\n - Os níveis a desenhar:
.\n
O que é pedido: desenhar (ou descrever de forma suficiente para desenhar) as curvas de nívelpara cada um desses .
Passo 2
A definição de curva de nível (lembrete rápido e essencial): para um número fixo
, a curva de nível de
é o conjunto de pontos
que satisfazem
.\n
Aplicando isso aqui, imponho :
Aplicando isso aqui, imponho
Isolando
obtemos a forma explícita da curva:
Isto significa que cada curva de nível é uma parábola com equação
.
Passo 3
Interpretação geométrica das curvas
:
- São parábolas com concavidade para cima (porque o coeficiente de
é positivo). - Todas têm o mesmo “formato” (mesma abertura), apenas são deslocadas verticalmente pelo valor de
. - O eixo de simetria de cada parábola é a reta
. - O vértice de cada parábola está em
(porque para temos ).\n
Portanto, para desenhar cada curva basta deslocar a parábola padrãoverticalmente até o ponto .
Passo 4
Para facilitar o desenho na prova, calculo alguns pontos fáceis (pegue-os como referência ao rascunho). Vou listar, para cada
, os valores de
em
— assim você consegue um esboço preciso sem calculadora.
-
Para
(curva ): -
Para
(curva ): -
Para
(curva ): -
Para
(curva ): -
Para
(curva ):
Com esses pontos você pode traçar cada parábola: marque o vértice
e os pontos calculados, depois faça a curva suave passando por eles.
Passo 5
Instruções práticas para montar o mapa de contorno no rascunho da prova:
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). Marque os pontos no eixo (eles são os vértices das parábolas aqui). - Para cada
desenhe a parábola com vértice em e formato de . Use os pontos de que calculei como guia. - Identifique e escreva o valor de
próximo a cada curva para não confundir (por exemplo, rotular a parábola que passa por como ). - Observação sobre espaçamento: as parábolas são deslocamentos verticais regulares (diferença vertical entre vértices de níveis consecutivos é
); no entanto, a distância horizontal entre curvas próximas muda com porque as parábolas se abrem (quanto maior , maior a separação vertical entre curvas para um dado incremento de ).\n
Dica para a prova: marcar os vértices e alguns pontos simétricos em relação ao eixojá dá um mapa de contorno claro e correto.
Passo 6
Uma nota rápida sobre gradiente (útil se a prova pedir direção de maior aumento ou normal às curvas): o gradiente de
é
O vetor
é perpendicular à curva de nível passando por
e aponta na direção em que
cresce mais rápido. Por exemplo, no eixo
temos
, ou seja, vertical para cima — coerente com o fato de que as curvas de nível são horizontais deslocadas verticalmente no vértice.