Exercício 2. Considere f(x, y)=y-x^{2}. Construa as curvas de nível para os valores k=0, k=1, k=2, k=-1 e k=-2 em um mapa de contorno.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y-x^{2} e pede que eu construa as curvas de nível (mapa de contorno) para os valores k=0,\;k=1,\;k=2,\;k=-1,\;k=-2.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função: f(x,y)=y-x^{2}.\n
  • Os níveis a desenhar: k\in\{0,1,2,-1,-2\}.\n
    O que é pedido: desenhar (ou descrever de forma suficiente para desenhar) as curvas de nível \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} para cada um desses k.

Passo 2

A definição de curva de nível (lembrete rápido e essencial): para um número fixo k, a curva de nível de f é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=k.\n
Aplicando isso aqui, imponho f(x,y)=k:
y-x^{2}=k.
Isolando y obtemos a forma explícita da curva:
y = x^{2} + k.
Isto significa que cada curva de nível é uma parábola com equação y=x^{2}+k.

Passo 3

Interpretação geométrica das curvas y=x^{2}+k:
  • São parábolas com concavidade para cima (porque o coeficiente de x^{2} é positivo).
  • Todas têm o mesmo “formato” (mesma abertura), apenas são deslocadas verticalmente pelo valor de k.
  • O eixo de simetria de cada parábola é a reta x=0.
  • O vértice de cada parábola está em (0,k) (porque para x=0 temos y=k).\n
    Portanto, para desenhar cada curva basta deslocar a parábola padrão y=x^{2} verticalmente até o ponto (0,k).

Passo 4

Para facilitar o desenho na prova, calculo alguns pontos fáceis (pegue-os como referência ao rascunho). Vou listar, para cada k, os valores de y em x=0,\pm1,\pm2 — assim você consegue um esboço preciso sem calculadora.
  • Para k=0 (curva y=x^{2}):
    x=0\Rightarrow y=0,\quad x=\pm1\Rightarrow y=1,\quad x=\pm2\Rightarrow y=4.
  • Para k=1 (curva y=x^{2}+1):
    x=0\Rightarrow y=1,\quad x=\pm1\Rightarrow y=2,\quad x=\pm2\Rightarrow y=5.
  • Para k=2 (curva y=x^{2}+2):
    x=0\Rightarrow y=2,\quad x=\pm1\Rightarrow y=3,\quad x=\pm2\Rightarrow y=6.
  • Para k=-1 (curva y=x^{2}-1):
    x=0\Rightarrow y=-1,\quad x=\pm1\Rightarrow y=0,\quad x=\pm2\Rightarrow y=3.
  • Para k=-2 (curva y=x^{2}-2):
    x=0\Rightarrow y=-2,\quad x=\pm1\Rightarrow y=-1,\quad x=\pm2\Rightarrow y=2.
Com esses pontos você pode traçar cada parábola: marque o vértice (0,k) e os pontos calculados, depois faça a curva suave passando por eles.

Passo 5

Instruções práticas para montar o mapa de contorno no rascunho da prova:
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque os pontos y=-2,-1,0,1,2 no eixo y (eles são os vértices das parábolas aqui).
  2. Para cada k desenhe a parábola com vértice em (0,k) e formato de y=x^{2}. Use os pontos de x=\pm1,\pm2 que calculei como guia.
  3. Identifique e escreva o valor de k próximo a cada curva para não confundir (por exemplo, rotular a parábola que passa por (0,1) como k=1).
  4. Observação sobre espaçamento: as parábolas são deslocamentos verticais regulares (diferença vertical entre vértices de níveis consecutivos é 1); no entanto, a distância horizontal entre curvas próximas muda com x porque as parábolas se abrem (quanto maior |x|, maior a separação vertical entre curvas para um dado incremento de x).\n
    Dica para a prova: marcar os vértices e alguns pontos simétricos em relação ao eixo x=0 já dá um mapa de contorno claro e correto.

Passo 6

Uma nota rápida sobre gradiente (útil se a prova pedir direção de maior aumento ou normal às curvas): o gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y\bigr)=(-2x,\;1).
O vetor \nabla f(x,y) é perpendicular à curva de nível passando por (x,y) e aponta na direção em que f cresce mais rápido. Por exemplo, no eixo x=0 temos \nabla f=(0,1), ou seja, vertical para cima — coerente com o fato de que as curvas de nível são horizontais deslocadas verticalmente no vértice.

Resposta

k=0:\;y=x^{2}\n
k=1:\;y=x^{2}+1\n
k=2:\;y=x^{2}+2\n
k=-1:\;y=x^{2}-1\n
k=-2:\;y=x^{2}-2

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