- Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Regra
de Simpson.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Regra
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a integral
:
- (a) Calcular uma aproximação usando a Regra
de Simpson. - (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
.
Passo 2
O que é a Regra
de Simpson e como usá-la (aula rápida e prática).
- A Regra
de Simpson é um caso do método de Newton–Cotes fechado com três subintervalos igualmente espaçados no trecho . Ela aproxima a integral por um polinômio de grau 3 interpolador em quatro pontos. - Se dividimos
em três subintervalos iguais, definimos e os nós - A fórmula (única aplicação no intervalo
) é Explicando cada termo: -
é o comprimento de cada subintervalo; -
e são os valores nas extremidades; -
e são os valores nos pontos internos; os coeficientes vêm da fórmula do polinômio cúbico interpolador.
-
- Importante: para aplicar no exame, verifique sempre que o número de subintervalos é múltiplo de
quando aplicar a regra de forma composta; aqui o enunciado pede claramente a aplicação sobre com um painel de 3 subintervalos (uma única aplicação).
Passo 3
Calcular
e os pontos para o nosso caso
.
- Aqui
e . Logo - Os nós são:
- Avaliando
nesses pontos (usar que e ):
Passo 4
Aplicar a fórmula da Regra
e simplificar simbolicamente.
- Substituindo na fórmula:
- Como
, temos . Portanto a expressão simplifica para
Passo 5
Calcular numericamente a aproximação (passo a passo para fazer na prova sem calculadora avançada, depois número com aproximação).
- Para avaliar numericamente, pode-se calcular
e . Com uma calculadora comum ou tabela: - Substituindo:
Calcule os termos: Somando: - Dividindo por
:
Portanto a aproximação obtida pela Regra
de Simpson é aproximadamente
.
Passo 6
Avaliar o erro real (comparando com o valor exato) — útil para entender a precisão.
- A integral exata é
- O erro real (aproximação menos exato) é
Ou seja, o erro real observado é aproximadamente .
Passo 7
Estimativa teórica do erro pela fórmula de resto da Regra
(o que normalmente se pede como “estimativa do erro”).
- Teoria (explicação curta): a Regra
é exata para polinômios até grau . O resto (erro) pode ser escrito, para alguma , como onde é a aproximação pela regra em e é a quarta derivada de . (Na prova, memorize/justifique este termo de resto como sendo o termo de ordem do polinômio de Taylor utilizado na derivação do erro do Newton–Cotes.) - No nosso caso
tem derivadas repetidas iguais a . Assim Em o máximo de é . - Usando o valor máximo para obter um limite superior para o erro em módulo:
- Avaliando numericamente:
Ou seja, a estimativa teórica (cota superior) para o erro em módulo é aproximadamente .
Passo 8
Interpretação final e dicas rápidas para a prova (amigo e prático).
- Resultado prático: a Regra
deu uma aproximação muito boa: , com erro real cerca de . - A estimativa teórica pelo termo de resto fornece uma cota segura
, ou seja, o erro real está dentro da cota. - Dicas para a prova: memorize a fórmula da Regra
e a expressão do resto (coeficiente multiplicando ). Para funções exponenciais e o máximo é fácil de achar no intervalo; isso torna a cota direta.
Resposta
(a)
(b) Estimativa teórica do erro (cota superior):