• Exercício: Considere a integral \int_{0}^{1} e^{x} d x
    a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Regra \frac{3}{8} de Simpson.
    b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a integral \int_{0}^{1} e^{x}\,dx:
  • (a) Calcular uma aproximação usando a Regra \tfrac{3}{8} de Simpson.
  • (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • O integrando é f(x)=e^{x}.
  • O intervalo de integração é [a,b]=[0,1].

Passo 2

O que é a Regra \tfrac{3}{8} de Simpson e como usá-la (aula rápida e prática).
  • A Regra \tfrac{3}{8} de Simpson é um caso do método de Newton–Cotes fechado com três subintervalos igualmente espaçados no trecho [a,b]. Ela aproxima a integral por um polinômio de grau 3 interpolador em quatro pontos.
  • Se dividimos [a,b] em três subintervalos iguais, definimos h=\frac{b-a}{3}e os nós x_0=a,\quad x_1=a+h,\quad x_2=a+2h,\quad x_3=b.
  • A fórmula (única aplicação no intervalo [a,b]) é \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].Explicando cada termo:
    • h é o comprimento de cada subintervalo;
    • f(x_0) e f(x_3) são os valores nas extremidades;
    • f(x_1) e f(x_2) são os valores nos pontos internos; os coeficientes 3 vêm da fórmula do polinômio cúbico interpolador.
  • Importante: para aplicar no exame, verifique sempre que o número de subintervalos é múltiplo de 3 quando aplicar a regra \tfrac{3}{8} de forma composta; aqui o enunciado pede claramente a aplicação sobre [0,1] com um painel de 3 subintervalos (uma única aplicação).

Passo 3

Calcular h e os pontos para o nosso caso [0,1].
  • Aqui a=0 e b=1. Logo h=\frac{b-a}{3}=\frac{1-0}{3}=\frac{1}{3}.
  • Os nós são: x_0=0,\quad x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{2}{3},\quad x_3=1.
  • Avaliando f(x)=e^{x} nesses pontos (usar que e^{0}=1 e e^{1}=e): f(x_0)=e^{0}=1, \qquad f(x_1)=e^{1/3}, \qquad f(x_2)=e^{2/3}, \qquad f(x_3)=e.

Passo 4

Aplicar a fórmula da Regra \tfrac{3}{8} e simplificar simbolicamente.
  • Substituindo na fórmula: \int_{0}^{1} e^{x}\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[1+3e^{1/3}+3e^{2/3}+e\bigr].
  • Como h=\tfrac{1}{3}, temos \tfrac{3h}{8}=\tfrac{3\cdot(1/3)}{8}=\tfrac{1}{8}. Portanto a expressão simplifica para \boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx \approx \frac{1}{8}\bigl(1+3e^{1/3}+3e^{2/3}+e\bigr).}

Passo 5

Calcular numericamente a aproximação (passo a passo para fazer na prova sem calculadora avançada, depois número com aproximação).
  • Para avaliar numericamente, pode-se calcular e^{1/3} e e^{2/3}=(e^{1/3})^{2}. Com uma calculadora comum ou tabela: e^{1/3}\approx 1,395612425,\qquad e^{2/3}\approx 1,947734041,\qquad e\approx 2,718281828.
  • Substituindo: 1+3e^{1/3}+3e^{2/3}+e \approx 1 + 3(1,395612425) + 3(1,947734041) + 2,718281828.Calcule os termos: 3e^{1/3}\approx 4,186837275,\qquad 3e^{2/3}\approx 5,843202123.Somando: 1 + 4,186837275 + 5,843202123 + 2,718281828 \approx 13,748321226.
  • Dividindo por 8: \frac{13,748321226}{8}\approx 1,718540153.
Portanto a aproximação obtida pela Regra \tfrac{3}{8} de Simpson é aproximadamente \,1,718540153.

Passo 6

Avaliar o erro real (comparando com o valor exato) — útil para entender a precisão.
  • A integral exata é \int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1}=e-1\approx 1,718281828.
  • O erro real (aproximação menos exato) é E_{\text{real}}\approx 1,718540153 - 1,718281828 \approx 0,000258325.Ou seja, o erro real observado é aproximadamente 2,58\times 10^{-4}.

Passo 7

Estimativa teórica do erro pela fórmula de resto da Regra \tfrac{3}{8} (o que normalmente se pede como “estimativa do erro”).
  • Teoria (explicação curta): a Regra \tfrac{3}{8} é exata para polinômios até grau 3. O resto (erro) pode ser escrito, para alguma \xi\in(a,b), como \int_{a}^{b} f(x)\,dx - I_{3/8} = -\frac{(b-a)^{5}}{6480}\,f^{(4)}(\xi),onde I_{3/8} é a aproximação pela regra \tfrac{3}{8} em [a,b] e f^{(4)} é a quarta derivada de f. (Na prova, memorize/justifique este termo de resto como sendo o termo de ordem 4 do polinômio de Taylor utilizado na derivação do erro do Newton–Cotes.)
  • No nosso caso f(x)=e^{x} tem derivadas repetidas iguais a e^{x}. Assim f^{(4)}(x)=e^{x}.Em [0,1] o máximo de f^{(4)} é \max_{[0,1]} e^{x}=e^{1}=e.
  • Usando o valor máximo para obter um limite superior para o erro em módulo: |E|\le \frac{(b-a)^{5}}{6480}\max_{x\in[0,1]}|f^{(4)}(x)| = \frac{1^{5}}{6480}\,e = \frac{e}{6480}.
  • Avaliando numericamente: \frac{e}{6480}\approx \frac{2,718281828}{6480}\approx 0,0004197.Ou seja, a estimativa teórica (cota superior) para o erro em módulo é aproximadamente 4,197\times 10^{-4}.

Passo 8

Interpretação final e dicas rápidas para a prova (amigo e prático).
  • Resultado prático: a Regra \tfrac{3}{8} deu uma aproximação muito boa: 1,718540153, com erro real cerca de 2,58\times 10^{-4}.
  • A estimativa teórica pelo termo de resto fornece uma cota segura \le 4,197\times 10^{-4}, ou seja, o erro real está dentro da cota.
  • Dicas para a prova: memorize a fórmula da Regra \tfrac{3}{8} e a expressão do resto (coeficiente \tfrac{(b-a)^{5}}{6480} multiplicando f^{(4)}(\xi)). Para funções exponenciais f^{(4)}=f e o máximo é fácil de achar no intervalo; isso torna a cota direta.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{8}\bigl(1+3e^{1/3}+3e^{2/3}+e\bigr)\approx 1,718540153
(b) Estimativa teórica do erro (cota superior): \displaystyle |E|\le\frac{e}{6480}\approx 0,0004197

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