Exercício 5. A magnetização \mathbf{M} e o campo magnético \mathbf{H} são conceitos fundamentais na descrição de materiais magnéticos.
a) Explique a diferença física entre \mathbf{B}, \mathbf{H} e \mathbf{M} em um material. Como \mathbf{M} surge
em um material e qual a sua relação com a densidade de dipolos magnéticos?
b) Descreva a Lei de Hopkinson para circuitos magnéticos e estabeleça a analogia com a Lei de Ohm para circuitos elétricos, identificando os termos correspondentes.
c) Uma amostra de material paramagnético tem uma magnetização \mathbf{M}=0.1 \mathbf{a}_{\mathbf{z}} \mathrm{A} / \mathrm{m} em um campo magnético externo. Se a susceptibilidade magnética do material é \chi_{m}=2 \times 10^{-4}, calcule a intensidade do campo magnético \mathbf{H} dentro do material.
d) Para o material do item (c), determine a densidade de fluxo magnético B dentro do material. Considere \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado aborda quatro itens ligados a materiais magnéticos: a) distinguir os vetores \mathbf{B}, \mathbf{H} e \mathbf{M}, b) enunciar a Lei de Hopkinson e sua analogia com a Lei de Ohm, c) calcular \mathbf{H} a partir de \mathbf{M} e da susceptibilidade \chi_{m}, e d) determinar o fluxo \mathbf{B} sabendo \mathbf{H}, \mathbf{M} e \mu_{0}.

Passo 2

No interior de um material magnético temos três grandezas vetoriais:
- \mathbf{B} é a densidade de fluxo magnético (ou indução) e mede o “campo total” que inclui efeitos do meio.
- \mathbf{H} é o campo magnético aplicado externamente, associado às correntes livres que criam o magnetismo.
- \mathbf{M} é a magnetização, ou seja, o momento dipolar magnético por unidade de volume que surge da orientação dos dipolos atômicos ou moleculares do material.
Física-mente, \mathbf{M} aparece quando átomos ou íons com momento magnético próprio tendem a se alinhar no campo \mathbf{H}. Se N é o número de dipolos por volume e \langle\mathbf{m}\rangle o momento médio de cada dipolo, então
\mathbf{M} = N\,\langle\mathbf{m}\rangle.

Passo 3

A Lei de Hopkinson para circuitos magnéticos diz que a força magnetomotriz total \mathcal{F} é igual ao produto do fluxo magnético \Phi pela relutância magnética \mathcal{R}:
\mathcal{F} = \Phi\,\mathcal{R}.
Em analogia à Lei de Ohm V = I\,R, identificamos: \mathcal{F} \leftrightarrow V (tensão), \Phi \leftrightarrow I (corrente), \mathcal{R} \leftrightarrow R (resistência).
Tipicamente \mathcal{F} = \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} e \mathcal{R} = \tfrac{l}{\mu A}, onde l é o comprimento do caminho magnético, A a seção e \mu a permeabilidade.

Passo 4

Para o item (c), em meios lineares a magnetização e o campo estão ligados por
\mathbf{M} = \chi_{m}\,\mathbf{H}.
Logo
\mathbf{H} = \frac{\mathbf{M}}{\chi_{m}} = \frac{0{,}1\,\mathbf{a}_{z}}{2\times10^{-4}} = 500\,\mathbf{a}_{z}\;\mathrm{A/m}.

Passo 5

Para o item (d), a relação geral entre \mathbf{B}, \mathbf{H} e \mathbf{M} é
\mathbf{B} = \mu_{0}\bigl(\mathbf{H} + \mathbf{M}\bigr).
Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}, \mathbf{H}=500\,\mathbf{a}_{z} e \mathbf{M}=0{,}1\,\mathbf{a}_{z}:
\mathbf{B} =4\pi\times10^{-7}\bigl(500+0{,}1\bigr)\mathbf{a}_{z} \approx 4\pi\times10^{-7}\times500\,\mathbf{a}_{z} \approx 6{,}28\times10^{-4}\,\mathbf{a}_{z}\;\mathrm{T}.

Resposta

(c) \mathbf{H}=500\,\mathbf{a}_{z}\;\mathrm{A/m}.
(d) \mathbf{B}=6{,}28\times10^{-4}\,\mathbf{a}_{z}\;\mathrm{T}.

Exercícios relacionados