Identifique e esboce os cilindros e quádricas
z=y^2+2

Passo 1

Resumindo, temos a superfície em R^3 dada por
z = y^2 + 2
O conteúdo é estudo de superfícies quadráticas e cilindros em geometria analítica. Para classificar e esboçar, vamos usar cortes por planos coordenados e identificar o tipo de curva resultante.

Passo 2

Interseção com o plano x = x0 (fixo). Nesse plano, a equação não envolve x, logo para todo x0 a curva é
z = y^2 + 2,
que é uma parábola no plano y!z com vértice em l(0,2r) no sistema (y,z), abrindo para z positivo.

Passo 3

Interseção com o plano y = y0 (fixo). Substituindo y=y0 na equação, obtém-se
z = y0^2 + 2,
que é uma reta paralela ao eixo x, pois não depende de x. Logo a superfície é obtida ao “extrudir” a parábola z=y^2+2 ao longo de x.

Passo 4

Classificação: trata-se de um cilindro parabólico (parabolic cylinder). É uma quádricas cuja diretriz é uma parábola no plano y!z e cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo x.

Passo 5

Esboço (descrição):
– Desenhe eixos x, y e z.
– No plano x=0, trace a parábola com vértice em (y,z)=(0,2) e ramo para cima.
– Projete essa parábola ao longo de x (linhas paralelas ao eixo x).

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico com equação
z = y^2 + 2,
diretriz a parábola z=y^2+2 no plano y!z e geratrizes paralelas ao eixo x.

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