Exercício 5. Considere a matriz:
A=[lll 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9 ]
Resolva o sistema homogêneo A x=0. Qual a dimensão do espaço solução?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo A x = 0, onde
A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear por eliminação de Gauss e aplicação do Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity). Vamos achar a forma escalonada de A, depois parametrizar as incógnitas livres.

Passo 2

Aplicamos operações elementares em A:
1 & 2 & 3 2 & 4 & 6 3 & 6 & 9 ;xrightarrowR2>=ts R2-2R1; 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 3 & 6 & 9 ;xrightarrowR3>=ts R3-3R1; 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Dessa forma, o único pivô está na primeira linha, e o sistema reduz-se à equação
x1 + 2x2 + 3x3 = 0

Passo 3

Identificamos e como variáveis livres. Seja
Da equação acima, vem
Logo, o vetor solução geral é

Passo 4

Como a solução geral depende dos parâmetros s e t de forma independente, o espaço solução é gerado por dois vetores livres. Pelo teorema do núcleo e imagem, dim(ker A)=3-rank(A). Aqui rank(A)=1, então
dim(ker A)=3-1=2

Resposta

A dimensão do espaço solução é 2.

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