Exercício 4. Dado o sistema:
l x+2 y+3 z=a 2 x+5 y+3 z=b x+8 y-3 z=c
Para quais valores de a, b, c o sistema tem solução?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não homogêneo de três equações e três incógnitas:
x + 2y + 3z = a, 2x + 5y + 3z = b, x + 8y - 3z = c
O conteúdo aqui é sistema linear e a questão é sobre existência de solução. Para verificar isso usamos o critério de Rouché–Frobenius ou simplesmente calculamos o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 8 & -3
e calculamos o determinante det(A) por expansão:
det(A) = 1cdot5 & 3 8 & -3 -2cdot2 & 3 1 & -3 +3cdot2 & 5 1 & 8
Agora cada menor 2times 2:
5 & 3 8 & -3=5cdot(-3)-3cdot8=-15-24=-39,
2 & 3 1 & -3=2cdot(-3)-3cdot1=-6-3=-9,
2 & 5 1 & 8=2cdot8-5cdot1=16-5=11
Substituindo em det(A):
det(A)=1cdot(-39)-2cdot(-9)+3cdot11=-39+18+33=12

Passo 3

Como det(A)=12neq0, a matriz de coeficientes é invertível. Pelo teorema de Rouché–Frobenius, isso implica que o sistema tem sempre uma e única solução, independentemente dos valores de a, b e c.

Resposta

O sistema tem solução para quaisquer valores de (a,b,c)inR^3.

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