Exercício 3. Determine os valores de k para que o sistema:
l x+y=2 2 x+k y=4
tenha:
(i) Uma única solução
(ii) Infinitas soluções
(iii) Nenhuma solução

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é análise de sistema (2\times 2] usando o critério do determinante da matriz dos coeficientes para classificar o número de soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 2 & k
e calculamos o determinante:
det(A) = 1 cdot k - 1 cdot 2 = k - 2

Passo 3

Se det(A)neq0, isto é k - 2 neq 0 (portanto k neq 2), a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Se det(A)=0, isto é k=2, o sistema fica
x + y = 2, 2x + 2y = 4,
e a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira, inclusive no termo independente, de modo que as duas são a mesma reta. Logo, existe infinitas soluções.

Passo 5

Para termos sistema sem solução precisaríamos det(A)=0 e, ao mesmo tempo, as retas não serem múltiplas com mesmos termos independentes. Aqui, quando k=2, elas são múltiplas e consistentes, de modo que não há valor de k que torne o sistema impossível.

Resposta

(i) kneq2
(ii) k=2
(iii) não existe valor de k que impeça solução.

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