Exercício 4. Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, cuja matriz em relação à base canônica é dada por \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear T.
(b) Existe uma base \mathcal{B} do espaço vetorial real \left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot\right) de modo que a matriz [T]_{\mathcal{B}} seja diagonal?
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz em relação à base canônica é triangular
Para diagonalizar A precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes, ou seja
\dim E_1+\dim E_2 = 1+1 = 2 < 3.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, A não é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=1 com autoespaço E_1=\span\{(1,0,0)\} (dimensão 1) e \lambda=2 com autoespaço E_2=\span\{(5,3,1)\} (dimensão 1).
(b) Não existe base \mathcal{B} em que [T]_{\mathcal{B}} seja diagonal, pois não há 3 autovetores independentes.