Exercício 4. Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, cuja matriz em relação à base canônica é dada por \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear T.
(b) Existe uma base \mathcal{B} do espaço vetorial real \left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot\right) de modo que a matriz [T]_{\mathcal{B}} seja diagonal?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz em relação à base canônica é triangular
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Pede-se (a) os autovalores e os respectivos autoespaços e (b) verificar se existe base em que a matriz de T seja diagonal. Para isso usaremos:
  1. O polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  2. A definição de autoespaço, resolvendo (A-\lambda I)x=0.
  3. O critério de diagonalização: \sum_{\lambda}\dim E_\lambda =3.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A, que por ser triangular é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2(2-\lambda).
Logo os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para \lambda=1, formamos
A-I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e resolvemos (A-I)x=0. Da terceira linha vem z=0. Da primeira linha vem y+2z=0\Rightarrow y=0. O valor de x é livre. Assim
E_1=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\span\{(1,0,0)\},
com \dim E_1=1.

Passo 4

Para \lambda=2, formamos
A-2I=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e resolvemos (A-2I)x=0. Da segunda linha vem -y+3z=0\Rightarrow y=3z. Da primeira linha vem -x+y+2z=0\Rightarrow x=y+2z=5z. Tomando z=t,
E_2=\{t(5,3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\span\{(5,3,1)\},
com \dim E_2=1.

Passo 5

Para diagonalizar A precisaríamos de 3 autovetores linearmente independentes, ou seja
\dim E_1+\dim E_2 = 1+1 = 2 < 3.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, A não é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=1 com autoespaço E_1=\span\{(1,0,0)\} (dimensão 1) e \lambda=2 com autoespaço E_2=\span\{(5,3,1)\} (dimensão 1).
(b) Não existe base \mathcal{B} em que [T]_{\mathcal{B}} seja diagonal, pois não há 3 autovetores independentes.

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