Exercício 6. Seja T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) o operador linear dado por:
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 c & a+c \\\ b-2 c & d \end{array}\right), \quad \text { para } \quad\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})
(a) Encontre todos os autovalores e os autovetores associados do operador linear T.
(b) T é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Precisamos encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada um, os vetores não-nulos X\in M_{2}(\mathbb{R}) tais que T(X)=\lambda\,X, e então decidir se T é diagonalizável. Vamos usar a base canônica \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} e calcular a matriz de T, em seguida achar seu polinômio característico, os autovetores e, por fim, checar a soma das dimensões dos autoespaços.
Passo 2
Na base \;E_{11}=(1,0,0,0),\;E_{12}=(0,1,0,0),\;E_{21}=(0,0,1,0),\;E_{22}=(0,0,0,1),
um elemento genérico (a,b,c,d) é enviado em coordenadas para (2c,\;a+c,\;b-2c,\;d). Logo a matriz de T é
Os autoespaços têm dimensões \dim E_{-2}=1,\;\dim E_{-1}=1,\;\dim E_{1}=2 e a soma é 1+1+2=4=\dim M_{2}(\mathbb{R}). Logo há base de autovetores e T é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores e autovetores associados são: \displaystyle\lambda=-2:\;v_{-2}=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}. \displaystyle\lambda=-1:\;v_{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}. \displaystyle\lambda=1:\;v_{1}^{(1)}=\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix},\;v_{1}^{(2)}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
(b) Sim. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 4, igual à dimensão de M_{2}(\mathbb{R}), T é diagonalizável.