Exercício 8:
Considere um plano infinito em x y e z=0 com uma densidade de carga superfícial \sigma_{0} constante e positiva. Calcule o campo elétrico do plano para z>0 e z<0.
a) O que muda se \sigma_{0} for negativo?
b) Mantendo o plano z=0 com densidade positiva. Colocando um outro plano de mesma densidade superficial em z=a. Qual será o campo elétrico em z<0,0<z<a e z>a ?
c) Se o plano em z=a tiver densidade negativa qual será os campo elétrico nas três regiões?
Passo 1
O enunciado trata de planos infinitos em z=0 (e depois em z=a) com densidade de carga superficial constante \sigma_{0}. O objetivo é usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E} em cada região do espaço. Vamos precisar do resultado padrão para o campo de um plano infinito e, em seguida, superpor contribuições quando houver mais de um plano.
Passo 2
Para um único plano infinito em z=0 com densidade \sigma_{0}, escolhemos uma caixa de Gauss cilíndrica (pílula) centrada em z=0, de área da base A. A simetria implica que \mathbf{E} é perpendicular ao plano e de módulo constante sobre cada face. A Lei de Gauss diz:
As faces da pílula contribuem com E A para z>0 e E A para z<0, totalizando 2EA. A carga interna é \sigma_{0}A. Logo,
2E\,A = \frac{\sigma_{0}A}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}.
O sentido do campo sai de cargas positivas. Assim:
para z>0, \mathbf{E} = +\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}};
para z<0, \mathbf{E} = -\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Passo 3
(a) Se \sigma_{0} for negativa, basta trocar o sinal de \sigma_{0} nas expressões acima. Isso inverte o sentido de \mathbf{E}, mas mantém o módulo \bigl|\sigma_{0}\bigr|/(2\varepsilon_{0}).
Passo 4
(b) Agora há dois planos com \sigma_{0}>0, um em z=0 e outro em z=a. Pelo princípio da superposição, somamos os campos de cada plano. Cada um gera \tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}} para fora.
Região z<0:
Plano em z=0 gera \mathbf{E}_{0}=-\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Plano em z=a gera campo também apontando para baixo (afasta-se da face inferior), \mathbf{E}_{a}=-\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Somando,
(c) Mantemos o plano em z=0 com \sigma_{0}>0 e fazemos \sigma_{a}=-\sigma_{0} no plano z=a. Cada contribuição muda de sentido na segunda placa.
Região z<0:
Plano z=0: \mathbf{E}_{0}=-\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Plano z=a (negativo) gera campo apontando para ele; em z<0 estamos abaixo da placa, então o campo aponta para cima: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Somando, \mathbf{E} = \mathbf{0}.Região 0<z<a:
Plano z=0: \mathbf{E}_{0}=+\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Plano z=a (negativo): em 0<z<a estamos abaixo da placa negativa, então a atração aponta para cima: +\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Somando,
Plano z=0: \mathbf{E}_{0}=+\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Plano z=a (negativo): acima da placa, o campo aponta em direção à placa (para baixo): -\tfrac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}}\mathbf{\hat{k}}.
Somando, \mathbf{E} = \mathbf{0}.
Resposta
(a) Se \sigma_{0}<0, o campo inverte de sentido, mantendo módulo \bigl|\sigma_{0}\bigr|/(2\varepsilon_{0}).