Exercício 2.5 Duas esferas não condutoras 1 e 2 carregam a mesma carga, e a magnitude da força elétrica exercida por cada esfera na outra é 0,10 \mathrm{~N} quando elas estão 50 mm uma da outra. (a) Qual é a magnitude da carga em cada esfera, supondo que
cada uma tenha um diâmetro muito menor do que 10 mm ? (b) Qual é a magnitude do campo elétrico 50 mm diretamente acima da esfera 1 se a esfera 2 estiver localizada à esquerda da esfera 1? (c) Suas respostas mudariam se cada esfera tivesse um raio de 10 mm ?

Passo 1

O enunciado diz que duas esferas não condutoras 1 e 2, cada uma com carga q, estão separadas por r=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m} e a força mútua é F=0,10\\ \mathrm{N}. Como cada esfera é “muito menor que 10 mm”, tratamos-as como cargas pontuais. Vamos usar a lei de Coulomb para achar q, depois calcular o campo elétrico pelo princípio da superposição e, por fim, discutir o efeito do tamanho das esferas.

Passo 2

Pela lei de Coulomb,
F = k\,\frac{q^2}{r^2},
onde k=8{,}99\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. Isolando q,
q = \sqrt{\frac{F\,r^2}{k}} = \sqrt{\frac{0,10\cdot(0,05)^2}{8{,}99\times10^9}} \approx1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Queremos o campo em um ponto P que fica a 0,05\\ \mathrm{m} acima da esfera 1 (chamemos esse eixo de y) e a esfera 2 está a 0,05\\ \mathrm{m} à esquerda de 1 (eixo x).
  1. Campo de 1 em P:
E_1 = k\,\frac{q}{(0,05)^2} = 8{,}99\times10^9\cdot\frac{1{,}7\times10^{-7}}{0,0025} \approx6{,}0\times10^5\\ \mathrm{V/m}
dirigido para cima (positiva em y).
  1. Campo de 2 em P: a distância é
r_2 = \sqrt{(0,05)^2+(0,05)^2}=0,0707\\ \mathrm{m},
E_2 = k\,\frac{q}{r_2^2} =8{,}99\times10^9\cdot\frac{1{,}7\times10^{-7}}{0,005} \approx3{,}0\times10^5\\ \mathrm{V/m}.
Esse vetor faz 45^\circ acima da horizontal, então
E_{2x}=E_2\cos45^\circ\approx2{,}12\times10^5\\ \mathrm{V/m},\quad E_{2y}=E_2\sin45^\circ\approx2{,}12\times10^5\\ \mathrm{V/m}.
  1. Resultante em P:
E_x = E_{2x}\approx2{,}12\times10^5\\ \mathrm{V/m},\quad E_y = E_1 + E_{2y}\approx6{,}0\times10^5 +2{,}12\times10^5 =8{,}12\times10^5\\ \mathrm{V/m}.
Mesmo que nos peçam só a magnitude,
E = \sqrt{E_x^2+E_y^2} \approx\sqrt{(2{,}12\times10^5)^2+(8{,}12\times10^5)^2} \approx8{,}4\times10^5\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Pela lei de Gauss, o campo fora de uma esfera uniformemente carregada é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada no centro. Se o raio fosse 10\\ \mathrm{mm}, o ponto P ainda estaria fora da esfera (distância 50\\ \mathrm{mm} do centro), então não muda nem q nem o campo calculado.

Resposta

(a) \displaystyle q\approx1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
(b) \displaystyle E\approx8{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{V/m} (resultado do vetor total).
(c) Não, pois o campo fora de uma esfera uniformemente carregada independe do raio.

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