Exercício 4:
Uma esfera não condutora sólida de raio R tem densidade de carga constante \rho_{0}.
a) Calcule o campo elétrico no eixo z para z>R.
b) Adquirindo outra esfera semelhante. Colocamos o centro desta nova esfera a uma distância d do centro da outra, ambas apresentam o mesmo plano equatorial. Considerando que uma esfera não perturbe a outra de modo preocupante. Qual será o campo elétrico no mesmo ponto de a) agora?

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera sólida não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga constante \rho_{0}. Na parte (a) queremos o campo elétrico no eixo z para z>R. Isso se resolve usando o Teorema de Gauss, reconhecendo que fora da esfera ela se comporta como uma carga total Q concentrada no centro. Na parte (b) adicionamos uma segunda esfera idêntica, com o mesmo raio e densidade, cujo centro fica a uma distância d do primeiro, estando ambos os centros contidos no plano equatorial comum (o plano z=0). Usamos superposição para achar o campo no mesmo ponto da parte (a).

Passo 2

Calcular a carga total da esfera. Como a densidade é constante,
Q = \rho_{0} \times \text{(volume da esfera)} = \rho_{0} \,\frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 3

Aplicar Gauss para z>R. Fora da esfera podemos usar
E_{1}(z)\,4\pi z^{2} = \frac{Q}{\epsilon_{0}},
portanto
E_{1}(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{Q}{z^{2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi R^{3}}{z^{2}} = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\;\frac{1}{z^{2}},
direcionado ao longo de +\hat z.

Passo 4

Na parte (b) cada esfera gera o mesmo campo que teríamos isoladamente. Pelo princípio da superposição, o campo total em P=(0,0,z) é
\mathbf{E}(z) = \mathbf{E}_{1}(z) + \mathbf{E}_{2}(z).
A segunda esfera está centrada em (d,0,0). O ponto P está a r = \sqrt{d^{2} + z^{2}}
dela. Fora da segunda esfera o campo tem módulo
E_{2}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}
e direção radial saindo de (d,0,0). Seu componente ao longo de +\hat z é
E_{2,z} = E_{2}(r)\,\cos\theta = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}} \;\frac{z}{r} = \frac{Q\,z}{4\pi\epsilon_{0}\,(d^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Somando os contribuidores ao longo de \hat z:
E_{z}(z) = E_{1}(z) + E_{2,z}(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;Q\!\Bigl[\frac{1}{z^{2}} + \frac{z}{(d^{2}+z^{2})^{3/2}}\Bigr].
Substituindo Q=\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi R^{3}:
E_{z}(z) = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}} \Bigl[\frac{1}{z^{2}} + \frac{z}{(d^{2}+z^{2})^{3/2}}\Bigr].

Resposta

a)
E_{z}(z) = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\;\frac{1}{z^{2}}, \quad z>R.
b)
E_{z}(z) = \frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}} \Bigl[\frac{1}{z^{2}} + \frac{z}{\bigl(d^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr], \quad z>R.

Exercícios relacionados