Exercício 4:
Uma esfera não condutora sólida de raio
tem densidade de carga constante
.
a) Calcule o campo elétrico no eixo z para
.
b) Adquirindo outra esfera semelhante. Colocamos o centro desta nova esfera a uma distância
do centro da outra, ambas apresentam o mesmo plano equatorial. Considerando que uma esfera não perturbe a outra de modo preocupante. Qual será o campo elétrico no mesmo ponto de a) agora?
Uma esfera não condutora sólida de raio
a) Calcule o campo elétrico no eixo z para
b) Adquirindo outra esfera semelhante. Colocamos o centro desta nova esfera a uma distância
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera sólida não condutora de raio
com densidade volumétrica de carga constante
. Na parte (a) queremos o campo elétrico no eixo
para
. Isso se resolve usando o Teorema de Gauss, reconhecendo que fora da esfera ela se comporta como uma carga total
concentrada no centro. Na parte (b) adicionamos uma segunda esfera idêntica, com o mesmo raio e densidade, cujo centro fica a uma distância
do primeiro, estando ambos os centros contidos no plano equatorial comum (o plano
). Usamos superposição para achar o campo no mesmo ponto da parte (a).
Passo 2
Calcular a carga total da esfera. Como a densidade é constante,
Passo 3
Aplicar Gauss para
. Fora da esfera podemos usar
portanto
direcionado ao longo de
.
Passo 4
Na parte (b) cada esfera gera o mesmo campo que teríamos isoladamente. Pelo princípio da superposição, o campo total em
é
A segunda esfera está centrada em
. O ponto
está a
dela. Fora da segunda esfera o campo tem módulo
dela. Fora da segunda esfera o campo tem módulo
e direção radial saindo de
. Seu componente ao longo de
é
Passo 5
Somando os contribuidores ao longo de
:
Substituindo
:
Resposta
a)
b)