Exercício 2. Considere o ponto A=(6,2,3), o ponto B=(2,1,-6) e a reta r de equação paramétrica
(x, y, z)=(6,9-4)+t(1,2,-3)
Determine os pontos P da reta r tais que os segmentos P A e P B sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(6,2,3) e B=(2,1,-6) e a reta
(x,y,z)=(6,9,-4)+t(1,2,-3)
Queremos os pontos P em r tais que os segmentos PA e PB sejam perpendiculares. Vamos usar vetores e produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos um ponto genérico de r por
P(t)=(6+t,;9+2t,;-4-3t)

Passo 3

Escrevemos os vetores PA e PB.
Como A=(6,2,3),
PA=A-P(t) =(6-(6+t),,2-(9+2t),,3-(-4-3t)) =(-t,,-7-2t,;7+3t)
Como B=(2,1,-6),
PB=B-P(t) =(2-(6+t),,1-(9+2t),,-6-(-4-3t)) =(-4-t,,-8-2t,,-2+3t)

Passo 4

Perpendicularidade significa
PAcdotPB=0
Calculando o produto escalar:
(-t)(-4-t)+(-7-2t)(-8-2t)+(7+3t)(-2+3t)=0,
que expande para
14t^2+49t+42=0

Passo 5

Dividindo por 7 e fatorando:
2t^2+7t+6=(2t+3)(t+2)=0
dá as raízes
t=-tfrac32 ou t=-2

Passo 6

Substituindo na parametrização de r:
Para t=-tfrac32:
Pl(-tfrac32r) =(6-tfrac32,;9-3,;-4+ tfrac92) =(tfrac92,6,tfrac12)
Para t=-2:
P(-2)=(6-2,;9-4,;-4+6)=(4,5,2)

Resposta

Os pontos P são l(tfrac92,6,tfrac12r) e (4,5,2).

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